Diketahui suatu deltaABC siku-siku di C. Jika sin B sin

Nilai x adalah 8/25 atau -8/25.

Pembahasan

Diketahui suatu segitiga ABC siku-siku di C. Diberikan informasi sebagai berikut:
1. \\(sin B sin A = 3/10\\)
2. \\(sin(B-A) = 5/2 x\\)

Kita tahu bahwa dalam segitiga siku-siku ABC yang siku-siku di C:
* \\(sin A = a/c\\) (dimana a adalah sisi di depan sudut A, c adalah sisi miring)
* \\(sin B = b/c\\) (dimana b adalah sisi di depan sudut B, c adalah sisi miring)
* \\(A + B = 90 derajat\\)

Dari \\(sin B sin A = 3/10\\), kita dapatkan \\((b/c) * (a/c) = ab/c^2 = 3/10\\).

Kita juga tahu identitas trigonometri:
\\(sin(B-A) = sin B cos A - cos B sin A\\)

Dalam segitiga siku-siku:
* \\(cos A = b/c\\)
* \\(cos B = a/c\\)

Maka,
\\(sin(B-A) = (b/c)(b/c) - (a/c)(a/c)\\)
\\(sin(B-A) = b^2/c^2 - a^2/c^2\\)
\\(sin(B-A) = (b^2 - a^2)/c^2\\)

Kita juga tahu dari teorema Pythagoras bahwa \\(a^2 + b^2 = c^2\\). Oleh karena itu, \\(b^2 = c^2 - a^2\\) dan \\(a^2 = c^2 - b^2\\).

Substitusikan \\(b^2 = c^2 - a^2\\) ke dalam \\(sin(B-A)\\):
\\(sin(B-A) = (c^2 - a^2 - a^2)/c^2 = (c^2 - 2a^2)/c^2 = 1 - 2a^2/c^2\\)

Atau substitusikan \\(a^2 = c^2 - b^2\\) ke dalam \\(sin(B-A)\\):
\\(sin(B-A) = (b^2 - (c^2 - b^2))/c^2 = (2b^2 - c^2)/c^2 = 2b^2/c^2 - 1\\)

Kita juga bisa menggunakan identitas \\(cos(2A) = 1 - 2sin^2(A)\\), dan \\(cos(2B) = 2cos^2(B) - 1 = 2(a/c)^2 - 1\\).
Karena \\(B = 90 - A\\), maka \\(cos B = cos(90-A) = sin A\\).
Dan \\(sin B = sin(90-A) = cos A\\).

Maka, \\(sin B sin A = cos A sin A = 3/10\\).

Kita tahu \\(sin(2A) = 2 sin A cos A = 2 * (3/10) = 6/10 = 3/5\\).

Sekarang lihat \\(sin(B-A)\\):
\\(sin(B-A) = sin B cos A - cos B sin A\\)
Karena \\(cos A = sin B\\) dan \\(sin A = cos B\\),
\\(sin(B-A) = sin B * sin B - sin A * sin A\\)
\\(sin(B-A) = sin^2 B - sin^2 A\\)

Kita juga tahu \\(sin^2 B + cos^2 B = 1\\) dan \\(sin^2 A + cos^2 A = 1\\).
Karena \\(sin B = cos A\\) dan \\(cos B = sin A\\):
\\(sin^2 B = cos^2 A\\) dan \\(sin^2 A = cos^2 B\\).

Maka,\\(sin(B-A) = cos^2 A - sin^2 A = cos(2A)\\).

Kita punya \\(sin(2A) = 3/5\\).
Kita bisa mencari \\(cos(2A)\\) menggunakan identitas \\(sin^2(theta) + cos^2(theta) = 1\\).
\\(cos^2(2A) = 1 - sin^2(2A) = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25\\).
Maka \\(cos(2A) = +/- sqrt(16/25) = +/- 4/5\\).

Karena \\(sin(B-A) = cos(2A)\\), maka \\(sin(B-A) = +/- 4/5\\).

Diberikan \\(sin(B-A) = 5/2 x\\).

Jadi, \\(5/2 x = 4/5\\) atau \\(5/2 x = -4/5\\).

Kasus 1: \\(5/2 x = 4/5\\)
\\(x = (4/5) * (2/5) = 8/25\\).

Kasus 2: \\(5/2 x = -4/5\\)
\\(x = (-4/5) * (2/5) = -8/25\\).

Tanpa informasi lebih lanjut tentang sudut A dan B (apakah A lebih kecil dari B atau sebaliknya), kedua nilai x dimungkinkan. Namun, seringkali dalam konteks soal seperti ini, diasumsikan bahwa sudut-sudutnya adalah sudut lancip dalam segitiga siku-siku. Mari kita cek apakah kedua solusi ini masuk akal.

Jika \\(sin B sin A = 3/10\\) dan \\(sin(B-A) = 4/5\\) atau \\(-4/5\\).

Karena \\(A+B=90\\), maka \\(B=90-A\\). \\(B-A = 90-A-A = 90-2A\\).
Jadi \\(sin(B-A) = sin(90-2A) = cos(2A)\\). Ini konsisten dengan penurunan kita.

Kita punya \\(sin A cos A = 3/10\\).
Kita juga punya \\(cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = +/- 4/5\\).

Menggunakan \\(cos(2A) = 1 - 2sin^2 A\\) atau \\(cos(2A) = 2cos^2 A - 1\\).
Jika \\(cos(2A) = 4/5\\):
\\(1 - 2sin^2 A = 4/5 => 2sin^2 A = 1/5 => sin^2 A = 1/10\\).
Maka \\(sin A = 1/sqrt(10)\\). \\(cos^2 A = 1 - 1/10 = 9/10\\) dan \\(cos A = 3/sqrt(10)\\).
Periksa \\(sin A cos A = (1/sqrt(10))*(3/sqrt(10)) = 3/10\\). Ini cocok.
Dalam kasus ini, \\(sin(B-A) = 4/5\\), sehingga \\(5/2 x = 4/5\\) => \\(x = 8/25\\).

Jika \\(cos(2A) = -4/5\\):
\\(1 - 2sin^2 A = -4/5 => 2sin^2 A = 9/5 => sin^2 A = 9/10\\).
Maka \\(sin A = 3/sqrt(10)\\). \\(cos^2 A = 1 - 9/10 = 1/10\\) dan \\(cos A = 1/sqrt(10)\\).
Periksa \\(sin A cos A = (3/sqrt(10))*(1/sqrt(10)) = 3/10\\). Ini juga cocok.
Dalam kasus ini, \\(sin(B-A) = -4/5\\), sehingga \\(5/2 x = -4/5\\) => \\(x = -8/25\\).

Jadi kedua nilai x dimungkinkan. Namun, jika kita melihat sin(B-A), nilai ini bisa positif atau negatif tergantung pada apakah B > A atau A > B.

Jika kita mengasumsikan B > A, maka B-A positif, dan sin(B-A) positif. Ini berarti cos(2A) positif, sehingga x = 8/25.
Jika kita mengasumsikan A > B, maka B-A negatif, dan sin(B-A) negatif. Ini berarti cos(2A) negatif, sehingga x = -8/25.

Dalam soal ujian, biasanya hanya satu jawaban yang diharapkan. Tanpa informasi tambahan, kedua nilai bisa benar tergantung pada interpretasi.