Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 12 cm. Tentukan:

$6\sqrt{6}$ cm

Pembahasan

Kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 12 cm.
Kita perlu menentukan jarak titik P ke diagonal UW.

Koordinat titik-titik kubus dapat diatur sebagai berikut:
P = (0, 0, 0)
Q = (12, 0, 0)
R = (12, 12, 0)
S = (0, 12, 0)
T = (0, 0, 12)
U = (12, 0, 12)
V = (12, 12, 12)
W = (0, 12, 12)

Diagonal UW menghubungkan titik U(12, 0, 12) dan W(0, 12, 12).

Kita bisa menggunakan konsep proyeksi vektor atau mencari jarak dari titik ke garis dalam ruang.

Cara 1: Menggunakan proyeksi vektor.
Misalkan vektor $\vec{PW} = W - P = (0, 12, 12)$.
Misalkan vektor $\vec{WU} = U - W = (12, -12, 0)$.

Jarak titik P ke garis UW adalah panjang vektor proyeksi $\vec{PW}$ ke vektor $\vec{WU}$ yang dikurangi dari $|\vec{PW}|$. Atau lebih mudah, kita bisa mencari panjang proyeksi $\vec{PU}$ ke $\vec{UW}$ dan menggunakan teorema Pythagoras.

Misalkan kita cari jarak P ke garis yang melalui U dan W.
Titik pada garis UW dapat direpresentasikan sebagai $L(t) = U + t \vec{UW} = (12, 0, 12) + t(0-12, 12-0, 12-12) = (12, 0, 12) + t(-12, 12, 0) = (12-12t, 12t, 12)$.

Jarak kuadrat dari P(0,0,0) ke L(t) adalah $d^2 = (12-12t-0)^2 + (12t-0)^2 + (12-0)^2$
$d^2 = (12-12t)^2 + (12t)^2 + 12^2$
$d^2 = 144(1-t)^2 + 144t^2 + 144$
$d^2 = 144(1 - 2t + t^2) + 144t^2 + 144$
$d^2 = 144 - 288t + 144t^2 + 144t^2 + 144$
$d^2 = 288t^2 - 288t + 288$

Untuk mencari jarak minimum, kita turunkan $d^2$ terhadap t dan samakan dengan 0:
$d(d^2)/dt = 576t - 288$
$576t - 288 = 0$
$576t = 288$
$t = 288/576 = 1/2$

Substitusikan t = 1/2 kembali ke $d^2$:
$d^2 = 288(1/2)^2 - 288(1/2) + 288$
$d^2 = 288(1/4) - 144 + 288$
$d^2 = 72 - 144 + 288$
$d^2 = 216$
$d = \sqrt{216} = \sqrt{36 * 6} = 6\sqrt{6}$

Cara 2: Menggunakan geometri.
Jarak titik P ke diagonal UW sama dengan panjang garis tegak lurus dari P ke garis UW. Misalkan titik proyeksi P pada bidang alas PQRS adalah P itu sendiri. Diagonal UW berada pada bidang atas TUVW.

Perhatikan segitiga siku-siku PUW. Sisi PU = 12 (rusuk kubus). Sisi UW adalah diagonal sisi kubus, UW = $12\sqrt{2}$.
Jarak dari P ke UW bisa dianggap sebagai tinggi segitiga siku-siku PUW jika kita proyeksikan P ke bidang yang memuat diagonal UW. 

Lebih tepatnya, kita bisa membayangkan segitiga siku-siku dengan titik P, titik U, dan titik proyeksi P pada garis UW.

Pertimbangkan segitiga PUW. PU = 12, PW = $12\sqrt{2}$ (diagonal sisi), UW = $12\sqrt{2}$ (diagonal sisi).
Ini bukan segitiga siku-siku di P. 

Mari kita gunakan pendekatan lain. Jarak titik P(0,0,0) ke garis yang melewati U(12,0,12) dan W(0,12,12).
vektor $\vec{UW} = W - U = (0-12, 12-0, 12-12) = (-12, 12, 0)$.
vektor $\vec{UP} = P - U = (0-12, 0-0, 0-12) = (-12, 0, -12)$.

Luas jajaran genjang yang dibentuk oleh $\vec{UP}$ dan $\vec{UW}$ adalah $|\vec{UP} \times \vec{UW}|$.
$\vec{UP} \times \vec{UW} = egin{vmatrix} i & j & k \ -12 & 0 & -12 \ -12 & 12 & 0 

\end{vmatrix} = i(0 - (-144)) - j(0 - 144) + k(-144 - 0)$
$= 144i + 144j - 144k = (144, 144, -144)$.

Luas jajaran genjang = $|\vec{UP} \times \vec{UW}| = \sqrt{144^2 + 144^2 + (-144)^2} = \sqrt{3 * 144^2} = 144\sqrt{3}$.

Luas jajaran genjang juga sama dengan alas dikali tinggi. Di sini, alasnya adalah panjang $\vec{UW}$ dan tingginya adalah jarak dari P ke garis UW.
Panjang $\vec{UW} = \sqrt{(-12)^2 + 12^2 + 0^2} = \sqrt{144 + 144} = \sqrt{288} = \sqrt{144*2} = 12\sqrt{2}$.

Jarak (tinggi) = Luas / Alas = $(144\sqrt{3}) / (12\sqrt{2})$
Jarak = $12\sqrt{3} / \sqrt{2} = 12\sqrt{6} / 2 = 6\sqrt{6}$.

Jadi, jarak titik P terhadap diagonal UW adalah $6\sqrt{6}$ cm.