Diketahui titik A(2,-1,2), B(3,0, p), dan C(3,1,4). Jika

a. p = 5 atau p = -4. b. Jika p=5, vektor proyeksi ortogonal AC pada AB adalah (9/11, 9/11, 27/11). Jika p=-4, vektor proyeksi ortogonal AC pada AB adalah (-9/38, -9/38, 27/19).

Pembahasan

Untuk soal ini, kita perlu menghitung nilai p dan vektor proyeksi ortogonal. a. Nilai p: Vektor AB = B - A = (3-2, 0-(-1), p-2) = (1, 1, p-2). Vektor AC = C - A = (3-2, 1-(-1), 4-2) = (1, 2, 2). Panjang proyeksi vektor AB pada AC diberikan oleh |AB · AC| / |AC|. Kita tahu bahwa proyeksi ini adalah 3. AB · AC = (1)(1) + (1)(2) + (p-2)(2) = 1 + 2 + 2p - 4 = 2p - 1. |AC| = sqrt(1^2 + 2^2 + 2^2) = sqrt(1 + 4 + 4) = sqrt(9) = 3. Maka, |(2p - 1)| / 3 = 3, yang berarti |2p - 1| = 9. Ini memberikan dua kemungkinan: 2p - 1 = 9 atau 2p - 1 = -9. Jika 2p - 1 = 9, maka 2p = 10, sehingga p = 5. Jika 2p - 1 = -9, maka 2p = -8, sehingga p = -4. b. Vektor proyeksi ortogonal vektor AC pada AB: Rumusnya adalah ((AC · AB) / |AB|^2) * AB. Kita sudah punya AC · AB = 2p - 1 dan |AC| = 3. Kita perlu |AB|^2 = 1^2 + 1^2 + (p-2)^2 = 1 + 1 + p^2 - 4p + 4 = p^2 - 4p + 6. Jika kita ambil p = 5, maka AB · AC = 2(5) - 1 = 9. |AB|^2 = 5^2 - 4(5) + 6 = 25 - 20 + 6 = 11. Vektor proyeksi ortogonal AC pada AB = (9/11) * (1, 1, 5-2) = (9/11) * (1, 1, 3) = (9/11, 9/11, 27/11). Jika kita ambil p = -4, maka AB · AC = 2(-4) - 1 = -9. |AB|^2 = (-4)^2 - 4(-4) + 6 = 16 + 16 + 6 = 38. Vektor proyeksi ortogonal AC pada AB = (-9/38) * (1, 1, -4-2) = (-9/38) * (1, 1, -6) = (-9/38, -9/38, 54/38) = (-9/38, -9/38, 27/19).