Diketahui vektor a=(1 -1 2) dan vektor b=(-1 1 1). Kosinus

Kosinus sudutnya adalah sqrt(6)/9.

Pembahasan

Diketahui vektor $a = (1, -1, 2)$ dan vektor $b = (-1, 1, 1)$.

Langkah 1: Hitung vektor $a + 2b$.
$a + 2b = (1, -1, 2) + 2(-1, 1, 1) = (1, -1, 2) + (-2, 2, 2) = (1 - 2, -1 + 2, 2 + 2) = (-1, 1, 4)$.

Langkah 2: Hitung vektor $2a - b$.
$2a - b = 2(1, -1, 2) - (-1, 1, 1) = (2, -2, 4) - (-1, 1, 1) = (2 - (-1), -2 - 1, 4 - 1) = (3, -3, 3)$.

Langkah 3: Hitung kosinus sudut antara vektor $a+2b$ dan $2a-b$ menggunakan rumus dot product.
Misalkan vektor $u = a+2b = (-1, 1, 4)$ dan vektor $v = 2a-b = (3, -3, 3)$.
Rumus dot product: $u \cdot v = |u| |v| \cos \theta$.
Maka, $\cos \theta = \frac{u \cdot v}{|u| |v|}$.

Hitung $u \cdot v$:
$u \cdot v = (-1)(3) + (1)(-3) + (4)(3) = -3 - 3 + 12 = 6$.

Hitung $|u|$:
$|u| = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2 + (4)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.

Hitung $|v|$:
$|v| = \sqrt{(3)^2 + (-3)^2 + (3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$.

Hitung $\cos \theta$:
$\cos \theta = \frac{6}{(3\sqrt{2})(3\sqrt{3})} = \frac{6}{9\sqrt{6}} = \frac{2}{3\sqrt{6}}$.

Untuk merasionalkan penyebut:
$\cos \theta = \frac{2}{3\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{3 \times 6} = \frac{2\sqrt{6}}{18} = \frac{\sqrt{6}}{9}$.

Jadi, kosinus sudut antara vektor $a+2b$ dan $2a-b$ adalah $\frac{\sqrt{6}}{9}$.