Diketahui vektor AB=(1 -1 1), vektor AC=(1 1 -1), dan sudut

Nilai tan theta adalah ±√2/2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai tan theta, di mana theta adalah sudut antara vektor CA dan vektor CB.
Diketahui:
Vektor AB = (1, -1, 1)
Vektor AC = (1, 1, -1)

Langkah 1: Cari vektor CA.
Vektor CA adalah negatif dari vektor AC.
Vektor CA = -AC = -(1, 1, -1) = (-1, -1, 1)

Langkah 2: Cari vektor CB.
Vektor CB = AB - AC = (1, -1, 1) - (1, 1, -1) = (1-1, -1-1, 1-(-1)) = (0, -2, 2)

Langkah 3: Gunakan rumus dot product untuk mencari cos theta.
CA · CB = |CA| |CB| cos theta

Hitung dot product CA · CB:
CA · CB = (-1)(0) + (-1)(-2) + (1)(2) = 0 + 2 + 2 = 4

Hitung panjang vektor |CA|:
|CA| = sqrt((-1)^2 + (-1)^2 + 1^2) = sqrt(1 + 1 + 1) = sqrt(3)

Hitung panjang vektor |CB|:
|CB| = sqrt(0^2 + (-2)^2 + 2^2) = sqrt(0 + 4 + 4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2)

Sekarang, hitung cos theta:
4 = sqrt(3) * 2*sqrt(2) * cos theta
4 = 2*sqrt(6) * cos theta
cos theta = 4 / (2*sqrt(6))
cos theta = 2 / sqrt(6)
cos theta = 2*sqrt(6) / 6
cos theta = sqrt(6) / 3

Langkah 4: Cari nilai tan theta menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa sin^2 theta + cos^2 theta = 1.
sin^2 theta = 1 - cos^2 theta
sin^2 theta = 1 - (sqrt(6)/3)^2
sin^2 theta = 1 - 6/9
sin^2 theta = 1 - 2/3
sin^2 theta = 1/3
sin theta = +/- sqrt(1/3) = +/- 1/sqrt(3) = +/- sqrt(3)/3

Sekarang, tan theta = sin theta / cos theta
tan theta = (+/- sqrt(3)/3) / (sqrt(6)/3)
tan theta = +/- sqrt(3) / sqrt(6)
tan theta = +/- sqrt(3/6)
tan theta = +/- sqrt(1/2)
tan theta = +/- 1/sqrt(2)
tan theta = +/- sqrt(2)/2

Karena kita tidak diberikan informasi tentang kuadran sudut theta, kita memiliki dua kemungkinan nilai untuk tan theta.