Diketahui (x-1) dan (x+2) merupakan faktor-faktor dari

(x-1)

Pembahasan

Diketahui (x-1) dan (x+2) adalah faktor-faktor dari polinom P(x) = x^3 + ax + b.
Menurut teorema faktor, jika (x-c) adalah faktor dari P(x), maka P(c) = 0.

Karena (x-1) adalah faktor, maka P(1) = 0:
P(1) = (1)^3 + a(1) + b = 0
1 + a + b = 0
a + b = -1  (Persamaan 1)

Karena (x+2) adalah faktor, maka P(-2) = 0:
P(-2) = (-2)^3 + a(-2) + b = 0
-8 - 2a + b = 0
-2a + b = 8  (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel (a dan b):
1) a + b = -1
2) -2a + b = 8

Kita dapat mengurangi Persamaan 1 dari Persamaan 2 untuk mengeliminasi b:
(-2a + b) - (a + b) = 8 - (-1)
-2a + b - a - b = 8 + 1
-3a = 9
a = 9 / -3
a = -3

Sekarang substitusikan nilai a = -3 ke Persamaan 1:
-3 + b = -1
b = -1 + 3
b = 2

Jadi, polinom P(x) adalah P(x) = x^3 - 3x + 2.

Karena (x-1) dan (x+2) adalah faktor, maka P(x) dapat ditulis sebagai P(x) = (x-1)(x+2)(x-k) untuk suatu faktor linear (x-k).

Mari kita kalikan faktor-faktor yang diketahui:
(x-1)(x+2) = x(x+2) - 1(x+2) = x^2 + 2x - x - 2 = x^2 + x - 2

Sekarang kita bisa membagi P(x) = x^3 - 3x + 2 dengan (x^2 + x - 2) untuk menemukan faktor yang lain.

      x   - 1
x^2+x-2 | x^3 + 0x^2 - 3x + 2
        -(x^3 + x^2 - 2x)
        ----------------
              -x^2 - x + 2
            -(-x^2 - x + 2)
            ----------------
                     0

Hasil pembagiannya adalah (x - 1).

Jadi, P(x) = (x^2 + x - 2)(x - 1) = (x-1)(x+2)(x-1).

Faktor-faktor dari polinom P(x) = x^3 - 3x + 2 adalah (x-1), (x+2), dan (x-1). Ini berarti (x-1) adalah faktor ganda.

Faktor yang lain (selain (x-1) dan (x+2) yang diberikan) adalah (x-1) itu sendiri.

Jika pertanyaannya adalah mencari faktor linear ketiga, maka jawabannya adalah (x-1).
Jika pertanyaannya adalah mencari faktor yang berbeda dari (x-1) dan (x+2), maka jawabannya adalah (x-1) lagi.