Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 10mathPolinomial

Diketahui (x-2) dan (x-1) adalah faktor-faktor suku banyak

Pertanyaan

Jika $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor dari suku banyak $x^3+ax^2-13x+b$, dan $x_1, x_2, x_3$ adalah akar suku banyak tersebut, tentukan nilai $x_1, x_2, x_3$.

Solusi

Verified

Akar-akar suku banyak tersebut adalah 2, 1, dan -5.

Pembahasan

Diketahui bahwa $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor dari suku banyak $P(x) = x^3 + ax^2 - 13x + b$. Karena $(x-2)$ adalah faktor, maka $P(2) = 0$. $P(2) = (2)^3 + a(2)^2 - 13(2) + b = 0$ $8 + 4a - 26 + b = 0$ $4a + b = 18$ (Persamaan 1) Karena $(x-1)$ adalah faktor, maka $P(1) = 0$. $P(1) = (1)^3 + a(1)^2 - 13(1) + b = 0$ $1 + a - 13 + b = 0$ $a + b = 12$ (Persamaan 2) Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel: 1) $4a + b = 18$ 2) $a + b = 12$ Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1: $(4a + b) - (a + b) = 18 - 12$ $3a = 6$ $a = 2$ Substitusikan nilai $a = 2$ ke dalam Persamaan 2: $2 + b = 12$ $b = 10$ Jadi, suku banyaknya adalah $P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$. Karena $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor, maka $x=2$ dan $x=1$ adalah akar-akar dari suku banyak tersebut. Misalkan $x_1 = 2$ dan $x_2 = 1$. Dari Vieta's formulas untuk suku banyak kubik $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar $x_1, x_2, x_3$: $x_1 + x_2 + x_3 = -a$ $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = b$ $x_1x_2x_3 = -c$ Dalam kasus kita, $P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$, sehingga $a=2$, $b=-13$, dan $c=10$. Kita tahu $x_1 = 2$ dan $x_2 = 1$. Menggunakan $x_1 + x_2 + x_3 = -a$: $2 + 1 + x_3 = -(2)$ $3 + x_3 = -2$ $x_3 = -5$ Jadi, akar-akar suku banyak tersebut adalah $x_1 = 2$, $x_2 = 1$, dan $x_3 = -5$.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Polinomial
Section: Akar Polinomial

Apakah jawaban ini membantu?