Diketahui (x-2) dan (x-1) adalah faktor-faktor suku banyak

Akar-akar suku banyak tersebut adalah 2, 1, dan -5.

Pembahasan

Diketahui bahwa $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor-faktor dari suku banyak $P(x) = x^3 + ax^2 - 13x + b$. 

Karena $(x-2)$ adalah faktor, maka $P(2) = 0$. 
$P(2) = (2)^3 + a(2)^2 - 13(2) + b = 0$
$8 + 4a - 26 + b = 0$
$4a + b = 18$ (Persamaan 1)

Karena $(x-1)$ adalah faktor, maka $P(1) = 0$. 
$P(1) = (1)^3 + a(1)^2 - 13(1) + b = 0$
$1 + a - 13 + b = 0$
$a + b = 12$ (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki sistem dua persamaan linear dengan dua variabel:
1) $4a + b = 18$
2) $a + b = 12$

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
$(4a + b) - (a + b) = 18 - 12$
$3a = 6$
$a = 2$

Substitusikan nilai $a = 2$ ke dalam Persamaan 2:
$2 + b = 12$
$b = 10$

Jadi, suku banyaknya adalah $P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$.

Karena $(x-2)$ dan $(x-1)$ adalah faktor, maka $x=2$ dan $x=1$ adalah akar-akar dari suku banyak tersebut. Misalkan $x_1 = 2$ dan $x_2 = 1$.

Dari Vieta's formulas untuk suku banyak kubik $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar $x_1, x_2, x_3$:
$x_1 + x_2 + x_3 = -a$
$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = b$
$x_1x_2x_3 = -c$

Dalam kasus kita, $P(x) = x^3 + 2x^2 - 13x + 10$, sehingga $a=2$, $b=-13$, dan $c=10$.

Kita tahu $x_1 = 2$ dan $x_2 = 1$.
Menggunakan $x_1 + x_2 + x_3 = -a$:
$2 + 1 + x_3 = -(2)$
$3 + x_3 = -2$
$x_3 = -5$

Jadi, akar-akar suku banyak tersebut adalah $x_1 = 2$, $x_2 = 1$, dan $x_3 = -5$.