Diketahui y=sin (sin (sin (...(sin (sin (x))))). Nilai

1

Pembahasan

Misalkan y = f_k(x) di mana f_1(x) = sin(x) dan f_{k+1}(x) = sin(f_k(x)). Maka y = f_n(x) = sin(sin(...sin(x)...)). Kita ingin mencari dy/dx pada x=0.  Kita tahu bahwa dy/dx = d/dx [sin(f_{n-1}(x))] = cos(f_{n-1}(x)) * f'_{n-1}(x).  Mari kita hitung turunan secara iteratif:  Untuk n=1, y = sin(x), dy/dx = cos(x). Pada x=0, dy/dx = cos(0) = 1.  Untuk n=2, y = sin(sin(x)). dy/dx = cos(sin(x)) * cos(x). Pada x=0, dy/dx = cos(sin(0)) * cos(0) = cos(0) * 1 = 1 * 1 = 1.  Untuk n=3, y = sin(sin(sin(x))). dy/dx = cos(sin(sin(x))) * d/dx[sin(sin(x))].  Kita sudah tahu d/dx[sin(sin(x))] = cos(sin(x)) * cos(x).  Jadi, dy/dx = cos(sin(sin(x))) * cos(sin(x)) * cos(x).  Pada x=0, dy/dx = cos(sin(sin(0))) * cos(sin(0)) * cos(0) = cos(0) * cos(0) * 1 = 1 * 1 * 1 = 1.  Dari pola ini, kita bisa melihat bahwa untuk y = sin(sin(...sin(x)...)) (sebanyak n kali), turunan dy/dx pada x=0 akan selalu 1. Ini karena sin(0) = 0, dan cos(0) = 1. Setiap kali kita melakukan diferensiasi terhadap sin(u), kita mendapatkan cos(u) * du/dx. Ketika kita mengevaluasi pada x=0, nilai sin dari argumen apapun yang merupakan hasil dari sin berulang kali pada 0 akan tetap 0, dan cos(0) akan selalu 1. Oleh karena itu, produk dari semua cos(0) akan menjadi 1.