Diketahuo matriks D=(3x x-y 10 8 x+1 z-1 10 5 6). Jika

a. x=2, y=-6, z=6. b. D^T = (6 8 10; 8 3 5; 10 5 6).

Pembahasan

Matriks D adalah matriks simetris, yang berarti D = D^T. Dari definisi matriks simetris, elemen-elemen yang bersesuaian di atas dan di bawah diagonal utama harus sama.

D = (3x  x-y  10 )
    ( 8  x+1   z-1)
    (10   5    6 )

D^T = (3x   8   10)
      (x-y x+1  5)
      (10  z-1  6)

Karena D = D^T:
Elemen D[1,2] = D^T[1,2] => x-y = 8
Elemen D[2,1] = D^T[2,1] => 8 = 8 (sudah sesuai)
Elemen D[1,3] = D^T[1,3] => 10 = 10 (sudah sesuai)
Elemen D[3,1] = D^T[3,1] => 10 = 10 (sudah sesuai)
Elemen D[2,3] = D^T[2,3] => z-1 = 5
Elemen D[3,2] = D^T[3,2] => 5 = 5 (sudah sesuai)

Matriks D juga memiliki trace 15. Trace matriks adalah jumlah elemen-elemen pada diagonal utama.
Trace(D) = 3x + (x+1) + 6 = 15
4x + 7 = 15
4x = 15 - 7
4x = 8
x = 2

a. Menentukan nilai x, y, dan z:
Kita sudah mendapatkan x = 2.
Substitusikan x = 2 ke persamaan x - y = 8:
2 - y = 8
-y = 8 - 2
-y = 6
y = -6

Substitusikan ke persamaan z - 1 = 5:
z - 1 = 5
z = 5 + 1
z = 6

Jadi, nilai x = 2, y = -6, dan z = 6.

b. Menentukan transpos matriks D:
Substitusikan nilai x, y, dan z ke matriks D:
D = (3*2     2-(-6)   10  )
    (  8    2+1     6-1)
    ( 10      5      6  )

D = ( 6      8      10  )
    ( 8      3      5  )
    ( 10     5      6  )

Transpos matriks D (D^T) adalah:
D^T = ( 6      8      10  )
      ( 8      3      5  )
      ( 10     5      6  )

Karena D adalah matriks simetris, maka D = D^T.