For n e N, prove that sigma k=1 n (-1)^k.k^2=(-1)^n

Pembuktian menggunakan induksi matematika dengan basis induksi untuk n=1 dan langkah induksi untuk n=m+1.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 = (-1)^n \frac{n(n+1)}{2}$ untuk semua $n \in \mathbb{N}$, kita dapat menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk $n=1$, sisi kiri adalah $\sum_{k=1}^{1} (-1)^k k^2 = (-1)^1 (1)^2 = -1$.
Sisi kanan adalah $(-1)^1 \frac{1(1+1)}{2} = (-1) \frac{2}{2} = -1$.
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk $n=1$.

Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif $m$, yaitu $\sum_{k=1}^{m} (-1)^k k^2 = (-1)^m \frac{m(m+1)}{2}$.
Kita perlu membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk $n=m+1$, yaitu $\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k k^2 = (-1)^{m+1} \frac{(m+1)((m+1)+1)}{2} = (-1)^{m+1} \frac{(m+1)(m+2)}{2}$.

Perhatikan sisi kiri untuk $n=m+1$:
$\sum_{k=1}^{m+1} (-1)^k k^2 = \left( \sum_{k=1}^{m} (-1)^k k^2 \right) + (-1)^{m+1} (m+1)^2$
Dengan menggunakan asumsi induksi, kita dapat mengganti jumlah tersebut:
$= (-1)^m \frac{m(m+1)}{2} + (-1)^{m+1} (m+1)^2$
Sekarang, kita faktorkan $(-1)^{m+1}$ dan $(m+1)$:
$= (-1)^{m+1} \left( -\frac{m(m+1)}{2} + (m+1)^2 \right)$
$= (-1)^{m+1} (m+1) \left( -\frac{m}{2} + (m+1) \right)$
$= (-1)^{m+1} (m+1) \left( \frac{-m + 2(m+1)}{2} \right)$
$= (-1)^{m+1} (m+1) \left( \frac{-m + 2m + 2}{2} \right)$
$= (-1)^{m+1} (m+1) \left( \frac{m+2}{2} \right)$
$= (-1)^{m+1} \frac{(m+1)(m+2)}{2}$
Ini adalah sisi kanan yang ingin kita buktikan untuk $n=m+1$.

Kesimpulan: Dengan prinsip induksi matematika, pernyataan $\sum_{k=1}^{n} (-1)^k k^2 = (-1)^n \frac{n(n+1)}{2}$ benar untuk semua $n \in \mathbb{N}$.