Tentukan penyelesaian himpunan atau penyelesaian tiap dari

Himpunan penyelesaiannya adalah \{(-3, -1, 0)\}.

Pembahasan

Diberikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut:
1) $x - 4y + z = 1$
2) $x + y + 2z = -4$
3) $-2x + y - z = 5$

Kita akan menggunakan metode eliminasi untuk menemukan penyelesaiannya.

Langkah 1: Eliminasi salah satu variabel dari dua pasang persamaan.
Kita eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (2):
$(x - 4y + z) - (x + y + 2z) = 1 - (-4)$
$x - 4y + z - x - y - 2z = 1 + 4$
$-5y - z = 5$  (Persamaan 4)

Selanjutnya, kita eliminasi $x$ dari persamaan (1) dan (3):
Kalikan persamaan (1) dengan 2:
$2(x - 4y + z) = 2(1) \implies 2x - 8y + 2z = 2$
Jumlahkan hasil ini dengan persamaan (3):
$(2x - 8y + 2z) + (-2x + y - z) = 2 + 5$
$2x - 8y + 2z - 2x + y - z = 7$
$-7y + z = 7$  (Persamaan 5)

Langkah 2: Selesaikan SPLDV dari Persamaan (4) dan (5).
Kita punya:
4) $-5y - z = 5$
5) $-7y + z = 7$

Jumlahkan Persamaan (4) dan (5) untuk mengeliminasi $z$:
$(-5y - z) + (-7y + z) = 5 + 7$
$-5y - z - 7y + z = 12$
$-12y = 12$
$y = \frac{12}{-12}$
$y = -1$

Langkah 3: Substitusikan nilai $y$ ke salah satu persamaan (4) atau (5) untuk mencari $z$.
Kita gunakan Persamaan (5):
$-7y + z = 7$
$-7(-1) + z = 7$
$7 + z = 7$
$z = 7 - 7$
$z = 0$

Langkah 4: Substitusikan nilai $y$ dan $z$ ke salah satu persamaan awal (1, 2, atau 3) untuk mencari $x$.
Kita gunakan Persamaan (1):
$x - 4y + z = 1$
$x - 4(-1) + 0 = 1$
$x + 4 + 0 = 1$
$x + 4 = 1$
$x = 1 - 4$
$x = -3$

Jadi, penyelesaian dari SPLTV tersebut adalah $x = -3$, $y = -1$, dan $z = 0$. Himpunan penyelesaiannya adalah \{(-3, -1, 0)\}.