Fungsi f(x)=2x^3-3x^2-72x+18 naik pada interval...

(-∞, -3) U (4, ∞)

Pembahasan

Untuk menentukan interval di mana fungsi f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 72x + 18 naik, kita perlu mencari turunan pertama dari fungsi tersebut dan menentukan di mana turunannya positif.

Langkah 1: Cari turunan pertama f'(x).

f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 72x + 18

f'(x) = d/dx (2x^3 - 3x^2 - 72x + 18)

f'(x) = 6x^2 - 6x - 72

Langkah 2: Tentukan di mana f'(x) > 0 untuk fungsi naik.

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan 6x^2 - 6x - 72 > 0.

Untuk mempermudah, kita bisa membagi seluruh pertidaksamaan dengan 6:
x^2 - x - 12 > 0

Langkah 3: Cari akar-akar dari persamaan kuadrat x^2 - x - 12 = 0.
Kita bisa memfaktorkan persamaan ini:
(x - 4)(x + 3) = 0

Akar-akarnya adalah x = 4 dan x = -3.

Langkah 4: Analisis tanda dari f'(x) pada interval yang dibentuk oleh akar-akar tersebut.

Akar-akar -3 dan 4 membagi garis bilangan menjadi tiga interval: (-∞, -3), (-3, 4), dan (4, ∞).

- Untuk interval (-∞, -3), ambil nilai uji, misalnya x = -4:
f'(-4) = (-4)^2 - (-4) - 12 = 16 + 4 - 12 = 8. Karena 8 > 0, fungsi naik pada interval ini.

- Untuk interval (-3, 4), ambil nilai uji, misalnya x = 0:
f'(0) = (0)^2 - (0) - 12 = -12. Karena -12 < 0, fungsi turun pada interval ini.

- Untuk interval (4, ∞), ambil nilai uji, misalnya x = 5:
f'(5) = (5)^2 - (5) - 12 = 25 - 5 - 12 = 8. Karena 8 > 0, fungsi naik pada interval ini.

Jadi, fungsi f(x) naik pada interval (-∞, -3) dan (4, ∞).

Jawaban Ringkas: Fungsi f(x) naik pada interval (-∞, -3) U (4, ∞).