Gambarlah Daerah Himpunan Penyelesaian dari Sistem

Daerah segitiga dengan titik sudut (0,5), (0,6), dan (2,3).

Pembahasan

Untuk menggambar Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

Sistem Pertidaksamaan:
1. $3x + 2y \le 12$
2. $x + y \ge 5$
3. $x \ge 0$
4. $y \ge 0$

Langkah 1: Gambar Garis Batas
Kita ubah setiap pertidaksamaan menjadi persamaan untuk mendapatkan garis batasnya.

Untuk $3x + 2y \le 12$, garis batasnya adalah $3x + 2y = 12$.
Untuk mencari titik potong sumbu:
- Jika $x=0$, maka $2y = 12 \Rightarrow y = 6$. Titik: (0,6)
- Jika $y=0$, maka $3x = 12 \Rightarrow x = 4$. Titik: (4,0)
Garis ini melalui (0,6) dan (4,0).

Untuk $x + y \ge 5$, garis batasnya adalah $x + y = 5$.
Untuk mencari titik potong sumbu:
- Jika $x=0$, maka $y = 5$. Titik: (0,5)
- Jika $y=0$, maka $x = 5$. Titik: (5,0)
Garis ini melalui (0,5) dan (5,0).

Untuk $x \ge 0$, ini adalah sumbu y (ke kanan).
Untuk $y \ge 0$, ini adalah sumbu x (ke atas).

Langkah 2: Uji Titik untuk Menentukan Daerah Penyelesaian

Untuk $3x + 2y \le 12$:
Ambil titik uji (0,0). Substitusikan ke pertidaksamaan:
$3(0) + 2(0) \le 12 
0 \le 12$ (Benar)
Jadi, daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini adalah daerah di bawah atau pada garis $3x + 2y = 12$, termasuk titik (0,0).

Untuk $x + y \ge 5$:
Ambil titik uji (0,0). Substitusikan ke pertidaksamaan:
$0 + 0 \ge 5 
0 \ge 5$ (Salah)
Jadi, daerah penyelesaian untuk pertidaksamaan ini adalah daerah di atas atau pada garis $x + y = 5$, tidak termasuk titik (0,0).

Untuk $x \ge 0$ dan $y \ge 0$, daerah penyelesaiannya adalah kuadran I.

Langkah 3: Iriskan Daerah Penyelesaian

Kita perlu mencari daerah yang memenuhi SEMUA kondisi:
- Di bawah atau pada $3x + 2y = 12$
- Di atas atau pada $x + y = 5$
- Di kuadran I ($x \ge 0, y \ge 0$)

Gambar kedua garis pada sistem koordinat Kartesius.
Garis $3x + 2y = 12$ memotong sumbu y di 6 dan sumbu x di 4.
Garis $x + y = 5$ memotong sumbu y di 5 dan sumbu x di 5.

Karena $x \ge 0$ dan $y \ge 0$, kita hanya memperhatikan kuadran pertama.

Perhatikan bahwa kedua garis berpotongan di luar kuadran pertama karena titik (5,0) pada garis kedua berada di luar garis pertama (karena $3(5)+2(0)=15 > 12$), dan titik (4,0) pada garis pertama berada di luar garis kedua (karena $4+0=4 < 5$).

Mari kita cari titik potong kedua garis:
1. $3x + 2y = 12$
2. $x + y = 5 \Rightarrow y = 5 - x$

Substitusikan (2) ke (1):
$3x + 2(5 - x) = 12$
$3x + 10 - 2x = 12$
$x + 10 = 12$
$x = 2$

Substitusikan x=2 ke $y = 5 - x$:
$y = 5 - 2$
$y = 3$

Jadi, kedua garis berpotongan di titik (2,3).

Sekarang kita tentukan daerahnya:
- $3x + 2y \le 12$: Daerah di bawah garis yang melalui (0,6) dan (4,0).
- $x + y \ge 5$: Daerah di atas garis yang melalui (0,5) dan (5,0).
- $x \ge 0, y \ge 0$: Kuadran I.

Daerah himpununan penyelesaian adalah daerah di kuadran I yang berada di antara kedua garis tersebut. Namun, karena kita memerlukan daerah yang di bawah $3x+2y=12$ DAN di atas $x+y=5$, maka tidak ada daerah yang memenuhi kedua syarat tersebut secara bersamaan dalam kuadran I. Jika kita memeriksa kembali titik potong (2,3), maka:
Untuk $3x + 2y ": $3(2) + 2(3) = 6 + 6 = 12$. Titik ini terletak PADA garis $3x+2y=12$.
Untuk $x + y ": $2 + 3 = 5$. Titik ini terletak PADA garis $x+y=5$.

Karena $x \ge 0$ dan $y \ge 0$, kita hanya melihat di kuadran pertama.
Daerah $3x + 2y \le 12$ adalah daerah di bawah garis yang melalui (0,6) dan (4,0).
Daerah $x + y \ge 5$ adalah daerah di atas garis yang melalui (0,5) dan (5,0).

Kedua daerah ini hanya berpotongan pada titik (2,3). Namun, interpretasi 'di bawah' dan 'di atas' mengacu pada area yang lebih luas.

Jika kita menguji titik (3,3):
$3(3)+2(3)=9+6=15 > 12$ (Salah)
$3+3=6 ">=5$ (Benar)

Jika kita menguji titik (1,4):
$3(1)+2(4)=3+8=11 \le 12$ (Benar)
$1+4=5 \ge 5$ (Benar)

Titik (1,4) memenuhi kedua pertidaksamaan dan $x \ge 0, y \ge 0$.

Jika kita menguji titik (4,1):
$3(4)+2(1)=12+2=14 > 12$ (Salah)
$4+1=5 \ge 5$ (Benar)

Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) adalah daerah segitiga yang dibatasi oleh:
- Sumbu y ($x=0$) dari y=5 hingga y=6.
- Sumbu x ($y=0$) dari x=4 hingga x=5.
- Garis $x+y=5$ dan $3x+2y=12$.

Lebih tepatnya, DHP adalah daerah yang dibatasi oleh tiga titik sudut:
1. Perpotongan $x=0$ dan $x+y=5$, yaitu (0,5).
2. Perpotongan $x=0$ dan $3x+2y=12$, yaitu (0,6).
3. Perpotongan $x+y=5$ dan $3x+2y=12$, yaitu (2,3).

Namun, DHP harus memenuhi $x \ge 0$ dan $y \ge 0$.

Mari kita tinjau kembali kendala:
$3x+2y \le 12$ (daerah di bawah garis melalui (0,6) dan (4,0))
$x+y \ge 5$ (daerah di atas garis melalui (0,5) dan (5,0))
$x \ge 0, y \ge 0$ (kuadran I)

Daerah yang memenuhi $3x+2y \le 12$ di kuadran I adalah segitiga dengan titik (0,0), (4,0), (0,6).
Daerah yang memenuhi $x+y \ge 5$ di kuadran I adalah daerah di atas garis yang melalui (0,5) dan (5,0).

Irisan dari kedua daerah ini adalah area segitiga yang dibentuk oleh titik-titik:
- Titik potong $x=0$ dengan $x+y=5$ adalah (0,5).
- Titik potong $x=0$ dengan $3x+2y=12$ adalah (0,6).
- Titik potong $x+y=5$ dan $3x+2y=12$ adalah (2,3).

Daerah himpunan penyelesaian adalah segitiga dengan titik sudut (0,5), (0,6), dan (2,3). Ini adalah daerah segitiga yang dibatasi oleh sumbu y, garis $x+y=5$, dan garis $3x+2y=12$.