Jika vektor a=(2,k), vektor b=(3,5), dan sudut (vektor

k = 1/2

Pembahasan

Sudut antara dua vektor a=(x1, y1) dan b=(x2, y2) dapat dihitung menggunakan rumus dot product: a · b = |a| |b| cos(θ), di mana θ adalah sudut antara kedua vektor. Dot product a · b = x1*x2 + y1*y2. Magnitudo vektor |a| = sqrt(x1^2 + y1^2) dan |b| = sqrt(x2^2 + y2^2). Diketahui vektor a=(2, k) dan vektor b=(3, 5), serta sudut θ = π/4. Maka, a · b = 2*3 + k*5 = 6 + 5k. |a| = sqrt(2^2 + k^2) = sqrt(4 + k^2). |b| = sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(9 + 25) = sqrt(34). cos(π/4) = 1/√2. Substitusikan ke dalam rumus dot product: 6 + 5k = sqrt(4 + k^2) * sqrt(34) * (1/√2). 6 + 5k = sqrt(4 + k^2) * sqrt(17). Kuadratkan kedua sisi: (6 + 5k)^2 = (4 + k^2) * 17. 36 + 60k + 25k^2 = 68 + 17k^2. Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat: 25k^2 - 17k^2 + 60k + 36 - 68 = 0. 8k^2 + 60k - 32 = 0. Bagi seluruh persamaan dengan 4: 2k^2 + 15k - 8 = 0. Faktorkan persamaan kuadrat: (2k - 1)(k + 8) = 0. Dari sini, kita mendapatkan dua solusi untuk k: 2k - 1 = 0 => k = 1/2, atau k + 8 = 0 => k = -8. Kita perlu memeriksa kedua solusi ini untuk memastikan bahwa tidak ada kontradiksi, misalnya akar kuadrat dari bilangan negatif. Namun, dalam kasus ini, kedua solusi valid. Mari kita periksa kedua nilai k tersebut. Jika k = 1/2: a = (2, 1/2), b = (3, 5). a · b = 6 + 5(1/2) = 6 + 2.5 = 8.5. |a| = sqrt(4 + (1/2)^2) = sqrt(4 + 1/4) = sqrt(17/4) = sqrt(17)/2. |b| = sqrt(34). cos(θ) = (8.5) / ( (sqrt(17)/2) * sqrt(34) ) = 8.5 / ( (sqrt(17)/2) * sqrt(2*17) ) = 8.5 / ( (sqrt(17)/2) * sqrt(2)*sqrt(17) ) = 8.5 / ( (17/2)*sqrt(2) ) = 8.5 * 2 / (17*sqrt(2)) = 17 / (17*sqrt(2)) = 1/sqrt(2). Ini cocok dengan cos(π/4). Jika k = -8: a = (2, -8), b = (3, 5). a · b = 6 + 5(-8) = 6 - 40 = -34. |a| = sqrt(4 + (-8)^2) = sqrt(4 + 64) = sqrt(68). |b| = sqrt(34). cos(θ) = (-34) / ( sqrt(68) * sqrt(34) ) = -34 / ( sqrt(2*34) * sqrt(34) ) = -34 / ( sqrt(2)*sqrt(34)*sqrt(34) ) = -34 / (sqrt(2)*34) = -1/sqrt(2). Ini adalah cos(3π/4) atau cos(5π/4), bukan cos(π/4). Oleh karena itu, solusi k = -8 tidak valid untuk sudut π/4. Maka, nilai k yang memenuhi adalah k = 1/2.