Fungsi f(x)=4x^3-18x^2+15x-20 pada interval 0<=x<=3

x = 0.5

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum fungsi f(x) = 4x^3 - 18x^2 + 15x - 20 pada interval 0 ≤ x ≤ 3, kita perlu menggunakan turunan pertama untuk menemukan titik kritis dan kemudian membandingkan nilai fungsi di titik kritis tersebut dengan nilai fungsi di ujung interval.

1.  	Cari Turunan Pertama:
    f'(x) = d/dx (4x^3 - 18x^2 + 15x - 20)
    f'(x) = 12x^2 - 36x + 15

2.  	Temukan Titik Kritis:
    Titik kritis terjadi ketika f'(x) = 0.
    12x^2 - 36x + 15 = 0
    Bagi seluruh persamaan dengan 3:
    4x^2 - 12x + 5 = 0

    Kita bisa faktorkan atau gunakan rumus kuadratik. Menggunakan rumus kuadratik (x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a):
    x = [12 ± sqrt((-12)^2 - 4 * 4 * 5)] / (2 * 4)
    x = [12 ± sqrt(144 - 80)] / 8
    x = [12 ± sqrt(64)] / 8
    x = [12 ± 8] / 8

    Dua nilai x kritis adalah:
    x1 = (12 + 8) / 8 = 20 / 8 = 2.5
    x2 = (12 - 8) / 8 = 4 / 8 = 0.5

    Kedua titik kritis ini (0.5 dan 2.5) berada dalam interval [0, 3].

3.  	Evaluasi Fungsi di Titik Kritis dan Ujung Interval:
    *   f(0) = 4(0)^3 - 18(0)^2 + 15(0) - 20 = -20
    *   f(0.5) = 4(0.5)^3 - 18(0.5)^2 + 15(0.5) - 20
        f(0.5) = 4(0.125) - 18(0.25) + 7.5 - 20
        f(0.5) = 0.5 - 4.5 + 7.5 - 20 = -16.5
    *   f(2.5) = 4(2.5)^3 - 18(2.5)^2 + 15(2.5) - 20
        f(2.5) = 4(15.625) - 18(6.25) + 37.5 - 20
        f(2.5) = 62.5 - 112.5 + 37.5 - 20 = -32.5
    *   f(3) = 4(3)^3 - 18(3)^2 + 15(3) - 20
        f(3) = 4(27) - 18(9) + 45 - 20
        f(3) = 108 - 162 + 45 - 20 = -29

4.  	Bandingkan Nilai:
    Nilai-nilai fungsi yang dievaluasi adalah -20, -16.5, -32.5, dan -29.
    Nilai maksimum di antara nilai-nilai ini adalah -16.5, yang terjadi pada x = 0.5.

Jadi, fungsi f(x)=4x^3-18x^2+15x-20 pada interval 0<=x<=3 mencapai maksimum untuk nilai x = 0.5.