Fungsi kuadrat f ditentukan dengan rumus f(x)=(x-a)(x-b)

a. (a,0) dan (b,0); b. (0,ab); c. ((a+b)/2, -(a-b)²/4) jenis minimum; d. x=(a+b)/2

Pembahasan

Diberikan fungsi kuadrat f(x) = (x - a)(x - b), dengan a, b ∈ R, a > b, a ≠ 0, dan b ≠ 0.

a. Koordinat titik potong grafik fungsi f dengan sumbu X:
Titik potong sumbu X terjadi ketika f(x) = 0. Dengan demikian,
(x - a)(x - b) = 0
Ini memberikan x = a atau x = b.
Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu X adalah (a, 0) dan (b, 0).

b. Koordinat titik potong grafik fungsi f dengan sumbu Y:
Titik potong sumbu Y terjadi ketika x = 0. Dengan demikian,
f(0) = (0 - a)(0 - b) = (-a)(-b) = ab.
Jadi, koordinat titik potong dengan sumbu Y adalah (0, ab).

c. Koordinat titik balik grafik fungsi f serta jenisnya (maksimum atau minimum):
Untuk mencari titik balik, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari f(x).
Pertama, jabarkan f(x):
f(x) = x² - bx - ax + ab = x² - (a + b)x + ab.

Turunan pertama (gradien): f'(x) = 2x - (a + b).
Untuk mencari titik kritis, setel f'(x) = 0:
2x - (a + b) = 0
2x = a + b
x = (a + b) / 2.
Ini adalah absis dari titik balik.

Untuk mencari ordinat titik balik, substitusikan x = (a + b) / 2 ke dalam f(x):
f((a + b)/2) = [((a + b)/2) - a] [((a + b)/2) - b]
f((a + b)/2) = [(a + b - 2a)/2] [(a + b - 2b)/2]
f((a + b)/2) = [(-a + b)/2] [(a - b)/2]
f((a + b)/2) = -(a - b)/2 * (a - b)/2
f((a + b)/2) = -(a - b)² / 4.

Jadi, koordinat titik baliknya adalah ((a + b)/2, -(a - b)² / 4).

Untuk menentukan jenisnya, kita gunakan turunan kedua:
f''(x) = 2.
Karena f''(x) = 2 > 0, maka titik balik tersebut adalah titik minimum.

d. Persamaan sumbu simetri grafik fungsi f:
Sumbu simetri adalah garis vertikal yang melewati titik balik. Absis dari titik balik adalah x = (a + b) / 2.
Jadi, persamaan sumbu simetrinya adalah x = (a + b) / 2.