Gambarlah grafik g(x)= 2log x dan f(x)= 1/2 log x pada satu

a. Ya, berpotongan di (1,0). b. Tidak simetris.

Pembahasan

Untuk menggambar grafik \( g(x) = 2 
egular{log} x \) dan \( f(x) = \frac{1}{2} 
egular{log} x \) pada satu bidang koordinat, kita perlu memahami sifat-sifat fungsi logaritma.

Asumsi \( 
egular{log} \) di sini merujuk pada logaritma natural (ln) atau logaritma basis 10. Untuk tujuan visualisasi, basisnya tidak terlalu krusial selama konsisten, tetapi mari kita asumsikan basis 10 (log₁₀) atau basis e (ln) untuk diskusi sifat umum.

Sifat dasar fungsi \( y = 
egular{log} x \) (dengan basis > 1):
1. Domain: \( x > 0 \)
2. Range: Semua bilangan real.
3. Memotong sumbu y: Tidak ada.
4. Memotong sumbu x: Di \( x = 1 \) (karena \( 
egular{log} 1 = 0 \)).
5. Asimtot tegak: Sumbu y (garis \( x = 0 \)).
6. Fungsi monoton naik.

Sekarang kita analisis \( g(x) = 2 
egular{log} x \) dan \( f(x) = \frac{1}{2} 
egular{log} x \):

Grafik \( g(x) = 2 
egular{log} x \):
Ini adalah transformasi dari \( y = 
egular{log} x \) yang diregangkan secara vertikal sebesar faktor 2. Artinya, untuk setiap nilai x, nilai y pada \( g(x) \) adalah dua kali nilai y pada \( 
egular{log} x \).
- Titik potong sumbu x: \( 2 
egular{log} x = 0 \implies 
egular{log} x = 0 \implies x = 1 \). Jadi, memotong sumbu x di (1, 0).
- Perilaku:
  - Jika \( x \) mendekati 0 dari kanan, \( 
egular{log} x \) menuju -∞, sehingga \( 2 
egular{log} x \) menuju -∞.
  - Jika \( x = 1 \), \( g(1) = 0 \).
  - Jika \( x > 1 \), \( 
egular{log} x > 0 \), sehingga \( g(x) > 0 \) dan tumbuh lebih cepat daripada \( 
egular{log} x \).

Grafik \( f(x) = \frac{1}{2} 
egular{log} x \):
Ini adalah transformasi dari \( y = 
egular{log} x \) yang diperpendek secara vertikal sebesar faktor 1/2. Artinya, untuk setiap nilai x, nilai y pada \( f(x) \) adalah setengah dari nilai y pada \( 
egular{log} x \).
- Titik potong sumbu x: \( \frac{1}{2} 
egular{log} x = 0 \implies 
egular{log} x = 0 \implies x = 1 \). Jadi, memotong sumbu x di (1, 0).
- Perilaku:
  - Jika \( x \) mendekati 0 dari kanan, \( 
egular{log} x \) menuju -∞, sehingga \( \frac{1}{2} 
egular{log} x \) menuju -∞.
  - Jika \( x = 1 \), \( f(1) = 0 \).
  - Jika \( x > 1 \), \( 
egular{log} x > 0 \), sehingga \( f(x) > 0 \) dan tumbuh lebih lambat daripada \( 
egular{log} x \).

Visualisasi Grafik:
Kedua grafik akan memiliki bentuk yang sama (monoton naik, asimtot tegak di \( x = 0 \), memotong sumbu x di \( x = 1 \)). Namun, grafik \( g(x) = 2 
egular{log} x \) akan 'lebih curam' atau tumbuh lebih cepat untuk \( x > 1 \) dan 'lebih negatif' (turun lebih cepat) untuk \( 0 < x < 1 \) dibandingkan dengan \( f(x) = \frac{1}{2} 
egular{log} x \).

Jawaban Pertanyaan:

a. Apakah kedua grafik saling berpotongan? Jika ya, di mana titik potongnya?
Ya, kedua grafik saling berpotongan. Untuk menemukan titik potongnya, kita setarakan kedua fungsi:
\( g(x) = f(x) \)
\( 2 
egular{log} x = \frac{1}{2} 
egular{log} x \)
\( 2 
egular{log} x - \frac{1}{2} 
egular{log} x = 0 \)
\( (2 - \frac{1}{2}) 
egular{log} x = 0 \)
\( \frac{3}{2} 
egular{log} x = 0 \)
\( 
egular{log} x = 0 \)
\( x = 1 \).
Ketika \( x = 1 \), nilai \( g(1) = 2 
egular{log} 1 = 2 	imes 0 = 0 \) dan \( f(1) = \frac{1}{2} 
egular{log} 1 = \frac{1}{2} 	imes 0 = 0 \).
Jadi, kedua grafik berpotongan di titik \( (1, 0) \). Titik ini adalah perpotongan dengan sumbu x.

b. Apakah kedua grafik simetris? Jika ya, di mana sumbu simetrinya?
Kedua grafik fungsi logaritma \( y = k 
egular{log} x \) (dengan \( k \) konstanta positif) tidak memiliki sumbu simetri dalam pengertian refleksi terhadap garis tertentu yang menghasilkan grafik yang sama persis, selain simetri trivial terhadap dirinya sendiri jika \( k=0 \) (yang menjadi \( y=0 \)).

Namun, jika pertanyaan ini menyiratkan simetri relatif satu sama lain, jawabannya adalah tidak ada sumbu simetri yang membuat satu grafik menjadi bayangan cermin yang lain.

Jika pertanyaan ini ditujukan untuk mencari sumbu simetri dari masing-masing grafik, maka:
- Grafik \( g(x) = 2 
egular{log} x \) tidak memiliki sumbu simetri.
- Grafik \( f(x) = \frac{1}{2} 
egular{log} x \) tidak memiliki sumbu simetri.

Satu-satunya kesamaan visual adalah keduanya melewati titik \( (1,0) \) dan memiliki bentuk logaritmik yang sama, tetapi tidak ada sumbu simetri yang menghubungkan kedua grafik tersebut.