Diketahui sin theta=5/13, theta terletak di kuadran II.

a. 5√26/26, b. √26/26, c. 5

Pembahasan

Diketahui sin θ = 5/13, dan θ terletak di kuadran II.

Karena θ di kuadran II, maka nilai sin θ positif, cos θ negatif, dan tan θ negatif.

Kita dapat membentuk segitiga siku-siku bantu dengan sisi depan = 5 dan sisi miring = 13. Menggunakan teorema Pythagoras, sisi samping = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12.

Namun, karena θ di kuadran II:
*   sin θ = depan/miring = 5/13 (sesuai soal)
*   cos θ = -samping/miring = -12/13
*   tan θ = depan/samping = 5/(-12) = -5/12

Sekarang kita hitung nilai sin(θ/2), cos(θ/2), dan tan(θ/2).
Karena θ di kuadran II (90° < θ < 180°), maka θ/2 akan berada di kuadran I (45° < θ/2 < 90°).
Di kuadran I, semua nilai trigonometri (sin, cos, tan) adalah positif.

Kita gunakan rumus setengah sudut:
*   sin²(θ/2) = (1 - cos θ) / 2
*   cos²(θ/2) = (1 + cos θ) / 2
*   tan(θ/2) = sin θ / (1 + cos θ) atau tan(θ/2) = (1 - cos θ) / sin θ

a. Nilai sin(θ/2):
sin²(θ/2) = (1 - cos θ) / 2
sin²(θ/2) = (1 - (-12/13)) / 2
sin²(θ/2) = (1 + 12/13) / 2
sin²(θ/2) = ((13+12)/13) / 2
sin²(θ/2) = (25/13) / 2
sin²(θ/2) = 25 / 26
Karena θ/2 di kuadran I, sin(θ/2) positif:
sin(θ/2) = √(25 / 26) = 5 / √26 = (5√26) / 26

b. Nilai cos(θ/2):
cos²(θ/2) = (1 + cos θ) / 2
cos²(θ/2) = (1 + (-12/13)) / 2
cos²(θ/2) = (1 - 12/13) / 2
cos²(θ/2) = ((13-12)/13) / 2
cos²(θ/2) = (1/13) / 2
cos²(θ/2) = 1 / 26
Karena θ/2 di kuadran I, cos(θ/2) positif:
cos(θ/2) = √(1 / 26) = 1 / √26 = √26 / 26

c. Nilai tan(θ/2):
Kita bisa gunakan hasil sin(θ/2) dan cos(θ/2):
tan(θ/2) = sin(θ/2) / cos(θ/2)
tan(θ/2) = (5/√26) / (1/√26)
tan(θ/2) = 5

Atau gunakan rumus lain:
tan(θ/2) = (1 - cos θ) / sin θ
tan(θ/2) = (1 - (-12/13)) / (5/13)
tan(θ/2) = (1 + 12/13) / (5/13)
tan(θ/2) = ((13+12)/13) / (5/13)
tan(θ/2) = (25/13) / (5/13)
tan(θ/2) = 25 / 5
tan(θ/2) = 5

Jadi:
a. sin(θ/2) = 5√26 / 26
b. cos(θ/2) = √26 / 26
c. tan(θ/2) = 5