Gambarlah grafik kurva y=x^4-4x^3 .

Grafik memiliki titik potong di (0,0) dan (4,0), minimum lokal di (3,-27), dan titik belok di (0,0) serta (2,-16). Fungsi turun di (-inf, 3) dan naik di (3, inf). Cekung ke atas di (-inf, 0) dan (2, inf), cekung ke bawah di (0, 2).

Pembahasan

Untuk menggambar grafik kurva y = x^4 - 4x^3, kita perlu menganalisis beberapa karakteristik fungsi:

1.  **Titik Potong Sumbu-y**: Setel x=0, maka y = 0^4 - 4(0)^3 = 0. Jadi, grafik memotong sumbu-y di (0,0).
2.  **Titik Potong Sumbu-x**: Setel y=0, maka x^4 - 4x^3 = 0. Faktorkan x^3(x - 4) = 0. Maka x=0 (multiplisitas 3) dan x=4 (multiplisitas 1). Jadi, grafik memotong sumbu-x di (0,0) dan (4,0).
3.  **Turunan Pertama (untuk mencari titik kritis dan interval naik/turun)**:
y' = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3)
Setel y'=0 untuk mencari titik kritis: 4x^2(x - 3) = 0. Maka x=0 dan x=3.
   - Interval (-∞, 0): Ambil x=-1, y' = 4(-1)^2(-1-3) = 4(1)(-4) = -16 (negatif, fungsi turun).
   - Interval (0, 3): Ambil x=1, y' = 4(1)^2(1-3) = 4(1)(-2) = -8 (negatif, fungsi turun).
   - Interval (3, ∞): Ambil x=4, y' = 4(4)^2(4-3) = 4(16)(1) = 64 (positif, fungsi naik).
   Karena y' tidak berganti tanda di x=0, maka x=0 bukan titik ekstrem lokal. Di x=3, y' berganti dari negatif ke positif, sehingga ada titik minimum lokal di x=3.
   Nilai y di x=3: y = 3^4 - 4(3)^3 = 81 - 4(27) = 81 - 108 = -27. Titik minimum lokal di (3, -27).
4.  **Turunan Kedua (untuk mencari titik belok dan kecekungan)**:
y'' = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)
Setel y''=0 untuk mencari titik belok: 12x(x - 2) = 0. Maka x=0 dan x=2.
   - Interval (-∞, 0): Ambil x=-1, y'' = 12(-1)(-1-2) = (-12)(-3) = 36 (positif, cekung ke atas).
   - Interval (0, 2): Ambil x=1, y'' = 12(1)(1-2) = 12(-1) = -12 (negatif, cekung ke bawah).
   - Interval (2, ∞): Ambil x=3, y'' = 12(3)(3-2) = 36(1) = 36 (positif, cekung ke atas).
   Terdapat perubahan kecekungan di x=0 dan x=2, sehingga keduanya adalah titik belok.
   - Nilai y di x=0: y = 0.
   - Nilai y di x=2: y = 2^4 - 4(2)^3 = 16 - 4(8) = 16 - 32 = -16.
   Titik belok di (0,0) dan (2, -16).

**Kesimpulan untuk menggambar grafik:**
- Memotong sumbu-y di (0,0).
- Memotong sumbu-x di (0,0) dan (4,0).
- Turun dari -∞ hingga 3, naik dari 3 hingga ∞.
- Titik minimum lokal di (3, -27).
- Cekung ke atas pada (-∞, 0) dan (2, ∞).
- Cekung ke bawah pada (0, 2).
- Titik belok di (0,0) dan (2, -16).

Grafik akan turun dengan cekung ke atas hingga x=0, kemudian turun dengan cekung ke bawah hingga x=2, mencapai titik minimum lokal di x=3, dan kemudian naik dengan cekung ke atas.
Titik-titik penting:
(0,0) - titik potong sumbu, titik belok
(4,0) - titik potong sumbu
(3,-27) - minimum lokal
(2,-16) - titik belok