Gambarlah kurvay = f(x) = 1/2 x^3 - 7x^2 + 48x - 10

Kurva adalah polinomial pangkat tiga yang selalu naik, dengan titik potong y di (0, -10) dan titik belok di sekitar (4.67, 112.37).

Pembahasan

Untuk menggambar kurva y = f(x) = 1/2 x^3 - 7x^2 + 48x - 10, kita perlu menganalisis beberapa karakteristik fungsi tersebut, seperti turunan pertama untuk mencari titik kritis (maksimum/minimum lokal dan titik belok), serta nilai fungsi pada beberapa titik.

1.  **Titik Potong Sumbu Y**:
    Set x = 0, maka y = 1/2(0)^3 - 7(0)^2 + 48(0) - 10 = -10.
    Jadi, kurva memotong sumbu y di (0, -10).

2.  **Titik Potong Sumbu X**: 
    Set y = 0, maka 1/2 x^3 - 7x^2 + 48x - 10 = 0. Menemukan akar dari polinomial derajat tiga ini bisa rumit dan mungkin memerlukan metode numerik atau tebakan rasional jika ada akar bulat.

3.  **Turunan Pertama (untuk mencari gradien dan titik kritis)**:
    f'(x) = d/dx (1/2 x^3 - 7x^2 + 48x - 10)
    f'(x) = 3/2 x^2 - 14x + 48

    Untuk mencari titik kritis, set f'(x) = 0:
    3/2 x^2 - 14x + 48 = 0
    Kalikan dengan 2: 3x^2 - 28x + 96 = 0

    Gunakan rumus kuadratik x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a:
    a = 3, b = -28, c = 96
    Diskriminan (D) = b^2 - 4ac = (-28)^2 - 4(3)(96) = 784 - 1152 = -368

    Karena diskriminan negatif (D < 0), maka tidak ada akar real untuk f'(x) = 0. Ini berarti fungsi f(x) tidak memiliki titik maksimum atau minimum lokal. Fungsi ini selalu naik atau selalu turun.

4.  **Turunan Kedua (untuk mencari titik belok dan kecekungan)**:
    f''(x) = d/dx (3/2 x^2 - 14x + 48)
    f''(x) = 3x - 14

    Untuk mencari titik belok, set f''(x) = 0:
    3x - 14 = 0
    3x = 14
    x = 14/3

    Ketika x = 14/3:
    y = 1/2 (14/3)^3 - 7(14/3)^2 + 48(14/3) - 10
    y = 1/2 (2744/27) - 7(196/9) + 48(14/3) - 10
    y = 1372/27 - 1372/9 + 672/3 - 10
    Samakan penyebut (27):
    y = 1372/27 - (1372 * 3)/27 + (672 * 9)/27 - (10 * 27)/27
    y = (1372 - 4116 + 6048 - 270) / 27
    y = (7420 - 4386) / 27
    y = 3034 / 27 ≈ 112.37

    Jadi, ada titik belok di (14/3, 3034/27) atau sekitar (4.67, 112.37).

5.  **Analisis Kecekungan**: 
    Jika x < 14/3, f''(x) < 0, maka kurva cekung ke bawah.
    Jika x > 14/3, f''(x) > 0, maka kurva cekung ke atas.

6.  **Perilaku Jangka Panjang**: 
    Karena ini adalah polinomial derajat ganjil dengan koefisien utama positif (1/2), maka:
    Saat x -> ∞, y -> ∞.
    Saat x -> -∞, y -> -∞.

**Langkah Menggambar Kurva**: 
1.  Tandai titik potong sumbu y di (0, -10).
2.  Tandai titik belok di sekitar (4.67, 112.37).
3.  Karena f'(x) selalu positif (diskriminan negatif, dan nilai awal f'(0)=48 positif), kurva selalu naik.
4.  Kurva naik dan cekung ke bawah untuk x < 14/3.
5.  Kurva naik dan cekung ke atas untuk x > 14/3.
6.  Perkirakan beberapa titik tambahan jika diperlukan untuk keakuratan, misalnya:
    x = 1: y = 0.5 - 7 + 48 - 10 = 31.5
    x = 2: y = 0.5(8) - 7(4) + 48(2) - 10 = 4 - 28 + 96 - 10 = 62
    x = 5: y = 0.5(125) - 7(25) + 48(5) - 10 = 62.5 - 175 + 240 - 10 = 117.5
    x = 10: y = 0.5(1000) - 7(100) + 48(10) - 10 = 500 - 700 + 480 - 10 = 270

Kurva akan terlihat seperti bentuk 'S' yang memanjang, naik terus menerus, melewati (0, -10), mencapai titik belok di sekitar (4.67, 112.37) di mana kecekungannya berubah dari bawah ke atas, dan terus naik.

Untuk menggambar secara akurat, Anda perlu membuat sistem koordinat, menandai titik-titik penting (titik potong y, titik belok), dan menggambar kurva yang mulus sesuai dengan analisis kecekungan dan perilaku monoton (selalu naik).