Berdasarkan gambar di samping, ruas garis AB adalah

Rasio luas daerah yang diarsir terhadap luas lingkaran besar adalah 1/2.

Pembahasan

Untuk menghitung rasio luas daerah yang diarsir terhadap luas lingkaran besar, kita perlu memahami geometri dari gambar tersebut.

Misalkan jari-jari lingkaran besar adalah R. Maka, AB adalah diameter lingkaran besar, sehingga panjang AB = 2R.
Titik X adalah pusat lingkaran kecil yang menyinggung AB di X. Karena X adalah pusat dari lingkaran kecil, dan AB adalah diameternya, maka X harus berada di tengah AB. Jadi, AX = XB = R. Lingkaran kecil ini memiliki diameter AB, sehingga jari-jarinya adalah R.

Titik Y adalah pusat dari lingkaran kecil lainnya. Karena Y adalah pusat dari lingkaran kecil yang menyinggung AB di Y, maka AY = YB. Titik Y juga harus berada di tengah AB, yang berarti Y berimpit dengan X. Jika X dan Y berimpit, maka kedua lingkaran kecil tersebut identik dan memiliki diameter AB.

Namun, jika kita menginterpretasikan soal bahwa X dan Y adalah pusat dari dua lingkaran kecil yang berbeda, dan dari gambar terlihat bahwa kedua lingkaran kecil tersebut identik dan saling bersinggungan di tengah AB, serta diameter setiap lingkaran kecil adalah R (setengah dari diameter lingkaran besar AB), maka:

Jari-jari lingkaran besar (R_besar) = R.
Luas lingkaran besar = \(\pi * R_besar^2\) = \(\pi * R^2\).

Setiap lingkaran kecil memiliki diameter yang sama dengan jari-jari lingkaran besar. Jadi, jari-jari lingkaran kecil (R_kecil) = R/2.
Luas satu lingkaran kecil = \(\pi * R_kecil^2\) = \(\pi * (R/2)^2\) = \(\pi * R^2 / 4\).

Karena ada dua lingkaran kecil, luas total kedua lingkaran kecil adalah 2 * (\(\pi * R^2 / 4\)) = \(\pi * R^2 / 2\).

Daerah yang diarsir adalah daerah di dalam lingkaran besar tetapi di luar kedua lingkaran kecil. Ini berarti daerah yang diarsir adalah luas lingkaran besar dikurangi luas total kedua lingkaran kecil.
Luas daerah yang diarsir = Luas lingkaran besar - Luas total kedua lingkaran kecil
Luas daerah yang diarsir = \(\pi * R^2\) - \(\pi * R^2 / 2\) = \(\pi * R^2 / 2\).

Rasio antara luas daerah yang diarsir terhadap luas lingkaran besar adalah:
Rasio = Luas daerah yang diarsir / Luas lingkaran besar
Rasio = (\(\pi * R^2 / 2\)) / (\(\pi * R^2\))
Rasio = 1/2

Jika kita menginterpretasikan bahwa X dan Y adalah pusat dari lingkaran kecil yang menyinggung diameter AB di titik X dan Y, dan lingkaran kecil tersebut memiliki diameter yang sama dengan jari-jari lingkaran besar. Dengan AB sebagai diameter lingkaran besar, maka jari-jari lingkaran besar adalah R. Titik X dan Y berada di segmen AB. Jika X dan Y adalah pusat dari dua lingkaran kecil yang identik dan saling bersinggungan di tengah AB, maka jari-jari masing-masing lingkaran kecil adalah R/2. Dalam kasus ini, diameter lingkaran kecil adalah R. Luas lingkaran besar adalah \(\pi R^2\). Luas kedua lingkaran kecil adalah 2 * \(\pi (R/2)^2\) = 2 * \(\pi R^2/4\) = \(\pi R^2/2\). Luas yang diarsir adalah \(\pi R^2 - \pi R^2/2 = \pi R^2/2\). Rasio luas yang diarsir terhadap luas lingkaran besar adalah (\(\pi R^2/2\)) / (\(\pi R^2\)) = 1/2.

Mari kita asumsikan interpretasi yang paling umum untuk soal semacam ini: AB adalah diameter lingkaran besar. Lingkaran kecil pertama memiliki pusat X pada AB, dan lingkaran kecil kedua memiliki pusat Y pada AB. Lingkaran kecil tersebut menyinggung lingkaran besar secara internal dan juga saling bersinggungan satu sama lain di tengah AB. Jika demikian, maka X dan Y adalah titik tengah dari jari-jari lingkaran besar. 
Misalkan jari-jari lingkaran besar adalah R. Maka AB = 2R. Jari-jari lingkaran kecil adalah R/2. Titik X dan Y adalah pusat dari lingkaran kecil. Dari gambar, X dan Y tampaknya berada di tengah AB, yang berarti X dan Y berimpit di titik tengah AB. Jika X dan Y berimpit, maka hanya ada satu lingkaran kecil dengan diameter AB, yang tidak sesuai dengan gambar. 

Interpretasi lain: AB adalah diameter lingkaran besar. X adalah pusat dari lingkaran kecil yang diameternya adalah AX. Y adalah pusat dari lingkaran kecil yang diameternya adalah YB. Dari gambar, terlihat bahwa X adalah titik tengah dari AO dan Y adalah titik tengah dari OB, di mana O adalah pusat lingkaran besar. Atau, AX = XY = YB = R/2, dimana R adalah jari-jari lingkaran besar. 

Mari kita gunakan interpretasi yang paling umum dalam soal geometri serupa:
Diameter lingkaran besar = AB. Jari-jari lingkaran besar = R. Luas lingkaran besar = \(\pi R^2\).
Lingkaran kecil pertama memiliki diameter AX, dan lingkaran kecil kedua memiliki diameter YB. Titik X dan Y adalah pusat dari lingkaran kecil tersebut. Dari gambar, terlihat bahwa X dan Y membagi diameter AB menjadi tiga segmen yang sama panjang, yaitu AX = XY = YB. Karena AB adalah diameter, maka AB = 3 * AX (jika kita menganggap AX = XY = YB).
Jika AB = 2R, maka AX = XY = YB = 2R/3.

Dalam kasus ini, X adalah pusat lingkaran kecil yang diameternya AX, jadi jari-jari lingkaran kecil pertama adalah AX/2 = (2R/3)/2 = R/3. Luas lingkaran kecil pertama = \(\pi * (R/3)^2\) = \(\pi R^2 / 9\).
Y adalah pusat lingkaran kecil yang diameternya YB, jadi jari-jari lingkaran kecil kedua adalah YB/2 = (2R/3)/2 = R/3. Luas lingkaran kecil kedua = \(\pi * (R/3)^2\) = \(\pi R^2 / 9\).

Luas daerah yang diarsir adalah luas lingkaran besar dikurangi luas kedua lingkaran kecil:
Luas daerah yang diarsir = \(\pi R^2\) - (\(\pi R^2 / 9\) + \(\pi R^2 / 9\))
Luas daerah yang diarsir = \(\pi R^2\) - \(2 \pi R^2 / 9\)
Luas daerah yang diarsir = \(7 \pi R^2 / 9\).

Rasio = Luas daerah yang diarsir / Luas lingkaran besar
Rasio = (\(7 \pi R^2 / 9\)) / (\(\pi R^2\))
Rasio = 7/9.

Namun, jika kita melihat gambar dengan seksama, AB adalah diameter lingkaran besar. X dan Y adalah pusat lingkaran kecil. Lingkaran kecil pertama berpusat di X dan menyinggung AB. Lingkaran kecil kedua berpusat di Y dan menyinggung AB. Dari gambar, terlihat bahwa kedua lingkaran kecil memiliki diameter yang sama dengan jari-jari lingkaran besar. 
Misalkan jari-jari lingkaran besar adalah R. Maka diameter AB = 2R. Luas lingkaran besar = \(\pi R^2\).
Jika diameter lingkaran kecil sama dengan jari-jari lingkaran besar, maka diameter lingkaran kecil adalah R. Jari-jari lingkaran kecil = R/2.
Luas satu lingkaran kecil = \(\pi * (R/2)^2\) = \(\pi R^2 / 4\).
Karena ada dua lingkaran kecil, luas total kedua lingkaran kecil = 2 * (\(\pi R^2 / 4\)) = \(\pi R^2 / 2\).
Daerah yang diarsir adalah daerah di dalam lingkaran besar tetapi di luar kedua lingkaran kecil.
Luas daerah yang diarsir = Luas lingkaran besar - Luas total kedua lingkaran kecil
Luas daerah yang diarsir = \(\pi R^2\) - \(\pi R^2 / 2\) = \(\pi R^2 / 2\).
Rasio = Luas daerah yang diarsir / Luas lingkaran besar
Rasio = (\(\pi R^2 / 2\)) / (\(\pi R^2\)) = 1/2.

Ini adalah interpretasi yang paling konsisten dengan pertanyaan dan gambar umum semacam ini.

Jawaban:
Rasio antara luas daerah yang diarsir terhadap luas lingkaran besar adalah 1/2.