Gunakan manipulasi aljabar untuk mendapatkan hasil limit

\(\frac{1}{|x|+x}\)

Pembahasan

Untuk mendapatkan hasil limit dari \(\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x^2+h}-x}{h}\) menggunakan manipulasi aljabar, kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu \(\sqrt{x^2+h}+x\).

Langkah-langkah:
1. Kalikan dengan konjugat:
   \(\frac{\sqrt{x^2+h}-x}{h} \times \frac{\sqrt{x^2+h}+x}{\sqrt{x^2+h}+x}\)

2. Sederhanakan pembilang menggunakan rumus \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):
   \(\frac{(\sqrt{x^2+h})^2 - x^2}{h(\sqrt{x^2+h}+x)}\)
   \(\frac{x^2+h - x^2}{h(\sqrt{x^2+h}+x)}\)
   \(\frac{h}{h(\sqrt{x^2+h}+x)}\)

3. Batalkan \(h\) pada pembilang dan penyebut (karena \(h \to 0\) tetapi \(h \neq 0\)):
   \(\frac{1}{\sqrt{x^2+h}+x}\)

4. Substitusikan \(h = 0\) ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
   \(\frac{1}{\sqrt{x^2+0}+x}\)
   \(\frac{1}{\sqrt{x^2}+x}\)
   \(\frac{1}{|x|+x}\)

Hasil limitnya adalah \(\frac{1}{|x|+x}\). Perlu diperhatikan bahwa jika \(x>0\), maka \(|x|=x\) dan hasilnya adalah \(\frac{1}{2x}\). Jika \(x<0\), maka \(|x|=-x\) dan hasilnya adalah \(\frac{1}{0}\) (tak terdefinisi). Jika \(x=0\), limitnya adalah \(\frac{1}{0}\) (tak terdefinisi). Namun, dalam konteks soal limit kalkulus dasar, seringkali diasumsikan \(x\) adalah konstanta positif.