Kelas 12Kelas 11mathMatematika
Gunakan manipulasi aljabar untuk mendapatkan hasil limit
Pertanyaan
Gunakan manipulasi aljabar untuk mendapatkan hasil limit dari soal berikut: \(\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x^2+h}-x}{h}\)
Solusi
Verified
\(\frac{1}{|x|+x}\)
Pembahasan
Untuk mendapatkan hasil limit dari \(\lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x^2+h}-x}{h}\) menggunakan manipulasi aljabar, kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari pembilang, yaitu \(\sqrt{x^2+h}+x\). Langkah-langkah: 1. Kalikan dengan konjugat: \(\frac{\sqrt{x^2+h}-x}{h} \times \frac{\sqrt{x^2+h}+x}{\sqrt{x^2+h}+x}\) 2. Sederhanakan pembilang menggunakan rumus \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \(\frac{(\sqrt{x^2+h})^2 - x^2}{h(\sqrt{x^2+h}+x)}\) \(\frac{x^2+h - x^2}{h(\sqrt{x^2+h}+x)}\) \(\frac{h}{h(\sqrt{x^2+h}+x)}\) 3. Batalkan \(h\) pada pembilang dan penyebut (karena \(h \to 0\) tetapi \(h \neq 0\)): \(\frac{1}{\sqrt{x^2+h}+x}\) 4. Substitusikan \(h = 0\) ke dalam ekspresi yang disederhanakan: \(\frac{1}{\sqrt{x^2+0}+x}\) \(\frac{1}{\sqrt{x^2}+x}\) \(\frac{1}{|x|+x}\) Hasil limitnya adalah \(\frac{1}{|x|+x}\). Perlu diperhatikan bahwa jika \(x>0\), maka \(|x|=x\) dan hasilnya adalah \(\frac{1}{2x}\). Jika \(x<0\), maka \(|x|=-x\) dan hasilnya adalah \(\frac{1}{0}\) (tak terdefinisi). Jika \(x=0\), limitnya adalah \(\frac{1}{0}\) (tak terdefinisi). Namun, dalam konteks soal limit kalkulus dasar, seringkali diasumsikan \(x\) adalah konstanta positif.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Kalkulus
Section: Limit Fungsi
Apakah jawaban ini membantu?