Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 6 cm. Titik P

cos alpha = (2 * sqrt(2)) / 3

Pembahasan

Untuk menentukan cos alpha, kita perlu menggunakan konsep vektor dan proyeksi dalam geometri ruang.

Misalkan titik A berada di (0, 0, 6), B di (6, 0, 6), C di (6, 6, 6), D di (0, 6, 6), E di (0, 0, 0), F di (6, 0, 0), G di (6, 6, 0), dan H di (0, 6, 0). Panjang rusuk kubus adalah 6 cm.

Titik P terletak di tengah rusuk AE. Karena AE adalah rusuk vertikal, koordinat P adalah (0, 0, 3).

Bidang EFGH terletak pada bidang xy (z=0). Vektor normal untuk bidang EFGH adalah vektor yang tegak lurus terhadap bidang tersebut. Dalam kasus ini, vektor normalnya bisa berupa vektor k = (0, 0, 1) atau -k = (0, 0, -1).

Ruas garis CP dapat direpresentasikan oleh vektor CP. Vektor CP = P - C = (0, 0, 3) - (6, 6, 6) = (-6, -6, -3).

Sudut alpha adalah sudut antara ruas garis CP dan bidang EFGH. Untuk mencari sudut antara garis dan bidang, kita dapat menggunakan sudut antara garis tersebut dan proyeksinya pada bidang tersebut, atau menggunakan sudut antara garis tersebut dan vektor normal bidang.

Metode 1: Menggunakan sudut antara garis dan proyeksinya pada bidang.
Proyeksi vektor CP pada bidang EFGH adalah CP' = (-6, -6, 0).
Panjang vektor CP = ||CP|| = sqrt((-6)^2 + (-6)^2 + (-3)^2) = sqrt(36 + 36 + 9) = sqrt(81) = 9.
Panjang vektor CP' = ||CP'|| = sqrt((-6)^2 + (-6)^2 + 0^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6 * sqrt(2).

Sudut antara CP dan CP' adalah alpha. Kita bisa menggunakan dot product: CP . CP' = ||CP|| * ||CP'|| * cos(alpha).
CP . CP' = (-6)(-6) + (-6)(-6) + (-3)(0) = 36 + 36 + 0 = 72.

Maka, 72 = 9 * (6 * sqrt(2)) * cos(alpha).
72 = 54 * sqrt(2) * cos(alpha).
cos(alpha) = 72 / (54 * sqrt(2)) = (4/3) / sqrt(2) = 4 / (3 * sqrt(2)) = (4 * sqrt(2)) / (3 * 2) = (2 * sqrt(2)) / 3.

Metode 2: Menggunakan sudut antara garis dan vektor normal bidang.
Misalkan beta adalah sudut antara vektor CP dan vektor normal bidang EFGH (misalnya, n = (0, 0, 1)).
CP . n = ||CP|| * ||n|| * cos(beta).
CP . n = (-6)(0) + (-6)(0) + (-3)(1) = -3.
||CP|| = 9.
||n|| = 1.

Maka, -3 = 9 * 1 * cos(beta).
cos(beta) = -3 / 9 = -1/3.

Sudut alpha yang dicari adalah sudut antara garis CP dan bidang EFGH. Hubungan antara beta (sudut garis dengan normal) dan alpha (sudut garis dengan bidang) adalah alpha + beta = 90 derajat, atau sin(alpha) = |cos(beta)|.

Jadi, sin(alpha) = |-1/3| = 1/3.

Kita tahu bahwa sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1.
(1/3)^2 + cos^2(alpha) = 1.
1/9 + cos^2(alpha) = 1.
cos^2(alpha) = 1 - 1/9 = 8/9.
cos(alpha) = sqrt(8/9) = (2 * sqrt(2)) / 3.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.

Jawaban singkat: cos alpha = (2 * sqrt(2)) / 3