H G E F D C O A B Diketahui kubus ABCD EFGH, rusuk-rusuknya

5√6 cm

Pembahasan

Untuk menghitung jarak titik F ke garis AC pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm, kita dapat menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku yang terbentuk. Misalkan O adalah titik tengah AC. Maka, segitiga FOA adalah segitiga siku-siku di O. Panjang rusuk adalah s = 10 cm. Panjang diagonal AC = s√2 = 10√2 cm. Panjang AO = 1/2 AC = 5√2 cm. Panjang FO adalah tinggi kubus, yaitu sama dengan panjang rusuknya, yaitu 10 cm. Menggunakan teorema Pythagoras pada segitiga FOA: FA^2 = FO^2 + AO^2. Namun, ini salah karena F tidak tegak lurus dengan O. 

Cara yang benar adalah mencari jarak dari F ke garis AC. Kita bisa memproyeksikan F ke bidang ABCD, yaitu titik F itu sendiri. Jarak titik F ke garis AC adalah jarak dari titik F ke titik pada garis AC yang terdekat. 

Perhatikan segitiga siku-siku FAC. AC adalah diagonal bidang, panjangnya 10√2 cm. AF adalah rusuk, panjangnya 10 cm. FC adalah diagonal bidang, panjangnya 10√2 cm. Segitiga FAC adalah segitiga siku-siku di F.

Misalkan P adalah titik pada AC sehingga FP tegak lurus AC. Maka FP adalah jarak yang dicari. Luas segitiga FAC dapat dihitung dengan dua cara:
1. 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AF * FC = 1/2 * 10 * 10√2 = 50√2
2. 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * AC * FP = 1/2 * 10√2 * FP

Menyamakan kedua luas:
50√2 = 1/2 * 10√2 * FP
50√2 = 5√2 * FP
FP = 50√2 / 5√2
FP = 10 cm.

Namun, ini masih terasa salah karena F ke AC seharusnya lebih kecil dari 10. Mari kita gunakan pendekatan lain.

Proyeksikan F ke bidang ABCD, yaitu titik F. Jarak F ke garis AC adalah jarak dari F ke garis AC. 

Perhatikan bidang ACGE. Jarak F ke AC adalah jarak dari F ke garis AC. 

Mari kita gunakan koordinat:
A = (0, 0, 0)
B = (10, 0, 0)
C = (10, 10, 0)
D = (0, 10, 0)
E = (0, 0, 10)
F = (10, 0, 10)
G = (10, 10, 10)
H = (0, 10, 10)

Titik F adalah (10, 0, 10).
Garis AC melewati A(0,0,0) dan C(10,10,0). Vektor arah garis AC adalah C - A = (10, 10, 0).

Misalkan P adalah titik pada garis AC. Maka P = A + t(C-A) = (0,0,0) + t(10,10,0) = (10t, 10t, 0).

Jarak FP adalah panjang vektor FP = P - F = (10t - 10, 10t - 0, 0 - 10) = (10t - 10, 10t, -10).

Jarak kuadrat FP^2 = (10t - 10)^2 + (10t)^2 + (-10)^2
FP^2 = 100(t-1)^2 + 100t^2 + 100
FP^2 = 100(t^2 - 2t + 1) + 100t^2 + 100
FP^2 = 100t^2 - 200t + 100 + 100t^2 + 100
FP^2 = 200t^2 - 200t + 200

Untuk mencari jarak terpendek, kita turunkan FP^2 terhadap t dan samakan dengan 0.
d(FP^2)/dt = 400t - 200 = 0
400t = 200
t = 200/400 = 1/2

Substitusikan t = 1/2 ke dalam FP^2:
FP^2 = 200(1/2)^2 - 200(1/2) + 200
FP^2 = 200(1/4) - 100 + 200
FP^2 = 50 - 100 + 200
FP^2 = 150
FP = √150 = √(25 * 6) = 5√6 cm.

Jawaban: Jarak titik F ke garis AC adalah 5√6 cm.