Hasil dari integral 0 pi/2 2 sin 4x cos 2x dx=....

Hasil integralnya adalah 4/3.

Pembahasan

Untuk menghitung integral tentu dari 0 sampai pi/2 untuk fungsi 2 sin(4x) cos(2x) dx, kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan ekspresi.

Salah satu identitas yang relevan adalah:
sin(A)cos(B) = 1/2 [sin(A+B) + sin(A-B)]

Dalam kasus ini, kita memiliki 2 sin(4x) cos(2x). Kita bisa menulis ini sebagai:
2 * [1/2 [sin(4x + 2x) + sin(4x - 2x)]]
= sin(6x) + sin(2x)

Sekarang kita perlu mengintegralkan (sin(6x) + sin(2x)) dari 0 sampai pi/2:
∫[0, pi/2] (sin(6x) + sin(2x)) dx

Integralkan masing-masing suku:
∫ sin(6x) dx = -1/6 cos(6x)
∫ sin(2x) dx = -1/2 cos(2x)

Jadi, integralnya adalah:
[-1/6 cos(6x) - 1/2 cos(2x)] dari 0 sampai pi/2

Evaluasi pada batas atas (x = pi/2):
-1/6 cos(6 * pi/2) - 1/2 cos(2 * pi/2)
= -1/6 cos(3π) - 1/2 cos(π)
= -1/6 (-1) - 1/2 (-1)
= 1/6 + 1/2
= 1/6 + 3/6
= 4/6 = 2/3

Evaluasi pada batas bawah (x = 0):
-1/6 cos(6 * 0) - 1/2 cos(2 * 0)
= -1/6 cos(0) - 1/2 cos(0)
= -1/6 (1) - 1/2 (1)
= -1/6 - 1/2
= -1/6 - 3/6
= -4/6 = -2/3

Sekarang kurangkan hasil pada batas bawah dari hasil pada batas atas:
(2/3) - (-2/3)
= 2/3 + 2/3
= 4/3

Jadi, hasil dari integral 0 pi/2 2 sin 4x cos 2x dx adalah 4/3.