Hasil dari integral (1+cos x)^2 dx adalah ...

$\frac{3}{2}x + 2\sin x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int (1+\cos x)^2 dx$, kita perlu menguraikan ekspresi di dalam integral terlebih dahulu:

$(1+\cos x)^2 = 1^2 + 2(1)(\cos x) + (\cos x)^2$

$= 1 + 2\cos x + \cos^2 x$

Kita tahu bahwa identitas trigonometri $\cos^2 x = \frac{1+\cos(2x)}{2}$. Substitusikan ini ke dalam ekspresi:

$= 1 + 2\cos x + \frac{1+\cos(2x)}{2}$

$= 1 + 2\cos x + \frac{1}{2} + \frac{\cos(2x)}{2}$

$= \frac{3}{2} + 2\cos x + \frac{1}{2}\cos(2x)$

Sekarang kita dapat mengintegralkan setiap suku:

$\int (1+\cos x)^2 dx = \int (\frac{3}{2} + 2\cos x + \frac{1}{2}\cos(2x)) dx$

$= \int \frac{3}{2} dx + \int 2\cos x dx + \int \frac{1}{2}\cos(2x) dx$

$= \frac{3}{2}x + 2\sin x + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2}\sin(2x) \right) + C$

$= \frac{3}{2}x + 2\sin x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

Jadi, hasil dari $\int (1+\cos x)^2 dx$ adalah $\frac{3}{2}x + 2\sin x + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$.