Hasil dari proses limit lim h->0

2x + 1/x^2

Pembahasan

Ini adalah soal limit yang melibatkan turunan. Kita dapat menggunakan definisi turunan: f'(x) = lim h->0 [f(x+h)-f(x)]/h.
Dalam kasus ini, kita dapat menganggap f(x) = x^2 - 1/x.
Pertama, kita cari f(x+h) = (x+h)^2 - 1/(x+h) = (x^2 + 2xh + h^2) - 1/(x+h).
Kemudian, kita kurangkan dengan f(x): f(x+h) - f(x) = [(x^2 + 2xh + h^2) - 1/(x+h)] - [x^2 - 1/x].
Ini dapat disederhanakan menjadi: 2xh + h^2 - 1/(x+h) + 1/x.
Sekarang, kita bagi dengan h: [2xh + h^2 - 1/(x+h) + 1/x] / h = 2x + h - [1/(h(x+h))] + [1/(hx)].
Sekarang, kita ambil limit h->0. Suku 2x tetap 2x. Suku h menjadi 0. Suku -1/(h(x+h)) akan menjadi tak hingga jika tidak ditangani dengan benar. Suku 1/(hx) juga akan menjadi tak hingga.
Mari kita coba pendekatan lain menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.
Dengan manipulasi aljabar:
lim h->0 [(((x+h)^2-1/(x+h))-(x^2-1/x))/h]
= lim h->0 [((x^2+2xh+h^2) - (x^2-1/x) - (1/(x+h)))/h]
= lim h->0 [(2xh+h^2 - (x- (x+h))/(x(x+h)))/h]
= lim h->0 [(2xh+h^2 - (-h)/(x(x+h)))/h]
= lim h->0 [(2xh+h^2 + h/(x(x+h)))/h]
Bagi setiap suku dengan h:
= lim h->0 [2x + h + 1/(x(x+h))]
Sekarang, substitusikan h=0:
= 2x + 0 + 1/(x(x+0))
= 2x + 1/x^2
Jadi, hasil limitnya adalah 2x + 1/x^2.