Himpunan penyelesaian dari -2x^2- 5x+3<=0 dengan x eR

Himpunan penyelesaiannya adalah x ≤ -3 atau x ≥ 1/2.

Pembahasan

Untuk menemukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan -2x² - 5x + 3 ≤ 0, kita perlu mencari akar-akar dari persamaan kuadrat -2x² - 5x + 3 = 0 terlebih dahulu, lalu menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Langkah-langkah:
1. Ubah pertidaksamaan agar koefisien x² positif (opsional, tapi memudahkan): Kalikan seluruh pertidaksamaan dengan -1 dan balik arah simbol pertidaksamaan.
   2x² + 5x - 3 ≥ 0

2. Cari akar-akar persamaan kuadrat 2x² + 5x - 3 = 0 menggunakan pemfaktoran atau rumus kuadrat.
   Menggunakan pemfaktoran:
   Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan hasilnya 2*(-3) = -6 dan jika dijumlahkan hasilnya 5. Bilangan tersebut adalah 6 dan -1.
   2x² + 6x - x - 3 = 0
   2x(x + 3) - 1(x + 3) = 0
   (2x - 1)(x + 3) = 0
   Jadi, akar-akarnya adalah:
   2x - 1 = 0  => x = 1/2
   x + 3 = 0   => x = -3

3. Gunakan garis bilangan untuk menentukan interval yang memenuhi 2x² + 5x - 3 ≥ 0.
   Tempatkan akar-akar (-3 dan 1/2) pada garis bilangan.
   Uji nilai di setiap interval:
   - Interval x < -3 (misal x = -4): 2(-4)² + 5(-4) - 3 = 2(16) - 20 - 3 = 32 - 20 - 3 = 9 (Positif, ≥ 0)
   - Interval -3 < x < 1/2 (misal x = 0): 2(0)² + 5(0) - 3 = -3 (Negatif, < 0)
   - Interval x > 1/2 (misal x = 1): 2(1)² + 5(1) - 3 = 2 + 5 - 3 = 4 (Positif, ≥ 0)

4. Karena kita mencari nilai yang memenuhi 2x² + 5x - 3 ≥ 0, maka interval yang valid adalah x ≤ -3 atau x ≥ 1/2.

Himpunan penyelesaiannya adalah {x | x ≤ -3 atau x ≥ 1/2, x ∈ R}.