Tentukan akar-akar rasional dari setiap persamaan

Akar-akar rasionalnya adalah 2, 3/2, dan -3.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar rasional dari persamaan polinomial 2x³ - x² - 15x + 18 = 0, kita dapat menggunakan Teorema Akar Rasional.

Teorema Akar Rasional menyatakan bahwa jika sebuah polinomial dengan koefisien bilangan bulat memiliki akar rasional p/q (di mana p dan q adalah bilangan bulat, q ≠ 0, dan p serta q koprima), maka p haruslah faktor dari konstanta suku terakhir (18) dan q haruslah faktor dari koefisien suku utama (2).

Langkah-langkah:
1. Identifikasi faktor dari konstanta suku terakhir (18):
   Faktor dari 18 adalah ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18.

2. Identifikasi faktor dari koefisien suku utama (2):
   Faktor dari 2 adalah ±1, ±2.

3. Buat daftar kemungkinan akar rasional (p/q):
   Kemungkinan p/q = ±1/1, ±2/1, ±3/1, ±6/1, ±9/1, ±18/1, ±1/2, ±2/2, ±3/2, ±6/2, ±9/2, ±18/2.
   Sederhanakan daftar ini menjadi: ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18, ±1/2, ±3/2, ±9/2.

4. Uji kemungkinan akar rasional menggunakan substitusi atau pembagian sintetik. Mari kita coba substitusi:
   - Uji x = 1: 2(1)³ - (1)² - 15(1) + 18 = 2 - 1 - 15 + 18 = 4 ≠ 0
   - Uji x = -1: 2(-1)³ - (-1)² - 15(-1) + 18 = -2 - 1 + 15 + 18 = 30 ≠ 0
   - Uji x = 2: 2(2)³ - (2)² - 15(2) + 18 = 2(8) - 4 - 30 + 18 = 16 - 4 - 30 + 18 = 0. Jadi, x = 2 adalah salah satu akar rasional.

5. Karena x = 2 adalah akar, maka (x - 2) adalah faktor dari polinomial. Kita bisa menggunakan pembagian sintetik untuk menemukan faktor lainnya:
     2 | 2  -1  -15  18
       |    4    6  -18
       ----------------
         2   3   -9   0

   Hasil pembagiannya adalah polinomial kuadrat 2x² + 3x - 9.

6. Sekarang kita perlu mencari akar-akar dari 2x² + 3x - 9 = 0.
   Gunakan pemfaktoran atau rumus kuadrat:
   Pemfaktoran: Kita cari dua bilangan yang dikalikan menghasilkan 2*(-9) = -18 dan dijumlahkan menghasilkan 3. Bilangan tersebut adalah 6 dan -3.
   2x² + 6x - 3x - 9 = 0
   2x(x + 3) - 3(x + 3) = 0
   (2x - 3)(x + 3) = 0
   Jadi, akar-akarnya adalah:
   2x - 3 = 0 => x = 3/2
   x + 3 = 0  => x = -3

Jadi, akar-akar rasional dari persamaan 2x³ - x² - 15x + 18 = 0 adalah x = 2, x = 3/2, dan x = -3.