Himpunan penyelesaian dari persamaan berikut

Nilai pq adalah -4.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $|x+2|+|(6)/(x-2)|=(10-x^2)/(2-x)$, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus berdasarkan definisi nilai mutlak dan penyederhanaan ekspresi.

Pertama, perhatikan penyebut pada sisi kanan persamaan, yaitu $(2-x)$. Agar persamaan terdefinisi, kita harus memiliki $x 
eq 2$. Perhatikan juga bahwa $|6/(x-2)| = 6/|x-2|$.

Persamaan dapat ditulis ulang sebagai:
$|x+2| + \frac{6}{|x-2|} = \frac{10-x^2}{-(x-2)}$
$|x+2| + \frac{6}{|x-2|} = \frac{x^2-10}{x-2}$

Sekarang, kita perlu mempertimbangkan beberapa kasus untuk nilai mutlak $|x+2|$ dan $|x-2|$.

Kasus 1: $x 
otin [-2, 2]$
Dalam kasus ini, $|x+2| = x+2$ dan $|x-2| = x-2$.
Persamaan menjadi:
$x+2 + \frac{6}{x-2} = \frac{x^2-10}{x-2}$
Kalikan kedua sisi dengan $(x-2)$:
$(x+2)(x-2) + 6 = x^2-10$
$x^2 - 4 + 6 = x^2 - 10$
$x^2 + 2 = x^2 - 10$
$2 = -10$
Ini adalah kontradiksi, sehingga tidak ada solusi pada kasus ini.

Kasus 2: $x 
otin [2, 	ext{tak hingga})$
Dalam kasus ini, kita sudah menetapkan $x 
eq 2$. Jika $x > 2$, maka $|x-2| = x-2$ dan $|x+2| = x+2$. Kasus ini sama dengan Kasus 1.

Kasus 3: $x 
otin (-	ext{tak hingga}, -2]$
Dalam kasus ini, $|x+2| = -(x+2)$.

Mari kita coba menyederhanakan persamaan dengan memisahkan berdasarkan tanda $x-2$ dan $x+2$:

Sub-kasus 3.1: $x > 2$
$|x+2| = x+2$, $|x-2| = x-2$
$x+2 + \frac{6}{x-2} = \frac{x^2-10}{x-2}$
$(x+2)(x-2) + 6 = x^2-10$
$x^2-4+6 = x^2-10$
$x^2+2 = x^2-10 
ightarrow 2 = -10$ (Kontradiksi, tidak ada solusi untuk $x > 2$).

Sub-kasus 3.2: $-2 < x < 2$
$|x+2| = x+2$, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$
$x+2 + \frac{6}{2-x} = \frac{10-x^2}{2-x}$
Kalikan kedua sisi dengan $(2-x)$:
$(x+2)(2-x) + 6 = 10-x^2$
$4-x^2 + 6 = 10-x^2$
$10-x^2 = 10-x^2$
Ini benar untuk semua $x$ dalam interval $-2 < x < 2$.

Sub-kasus 3.3: $x < -2$
$|x+2| = -(x+2)$, $|x-2| = -(x-2) = 2-x$
$-(x+2) + \frac{6}{2-x} = \frac{10-x^2}{2-x}$
Kalikan kedua sisi dengan $(2-x)$:
$-(x+2)(2-x) + 6 = 10-x^2$
$-(4-x^2) + 6 = 10-x^2$
$-4+x^2 + 6 = 10-x^2$
$x^2+2 = 10-x^2$
$2x^2 = 8$
$x^2 = 4$
$x = 	ext{±}2$
Karena kita berada dalam kasus $x < -2$, maka $x=2$ tidak valid. $x=-2$ tidak termasuk dalam kasus ini karena $|x+2|=0$ di $x=-2$. Mari kita cek $x=-2$ di persamaan asli:
$|-2+2| + |6/(-2-2)| = (10-(-2)^2)/(2-(-2))$
$0 + |6/-4| = (10-4)/4$
$| -3/2 | = 6/4$
$3/2 = 3/2$. Jadi $x=-2$ adalah solusi.

Mari kita tinjau kembali sub-kasus 3.2 dan 3.3.
Dari sub-kasus 3.2, solusi adalah $-2 < x < 2$. Himpunan penyelesaiannya adalah $(-2, 2)$.
Dari sub-kasus 3.3, kita mendapatkan $x = 	ext{±}2$. Kita sudah mengecek $x=-2$ dan itu adalah solusi. $x=2$ tidak valid karena pembagian dengan nol.

Himpunan penyelesaian gabungan dari kedua kasus yang valid adalah $x=-2$ dan $(-2, 2)$.
Jika kita gabungkan, himpunan penyelesaiannya adalah $[-2, 2)$.

Namun, perhatikan kembali persamaan awal: $|x+2|+|(6)/(x-2)|=(10-x^2)/(2-x)$.
Kita perlu memastikan bahwa $|6/(x-2)| = 6/|x-2|$. Ini benar.

Sekarang perhatikan ruas kanan: $(10-x^2)/(2-x)$.
Jika $-2 < x < 2$, maka $2-x > 0$. $x^2 < 4$, maka $10-x^2 > 6$. Ruas kanan positif.
Ruas kiri selalu positif atau nol.

Jika kita menyederhanakan $\frac{10-x^2}{2-x} = \frac{-(x^2-10)}{-(x-2)} = \frac{x^2-10}{x-2}$.

Kembali ke persamaan: $|x+2| + \frac{6}{|x-2|} = \frac{x^2-10}{x-2}$.

Kasus 1: $x > 2$. $|x+2|=x+2$, $|x-2|=x-2$.
$x+2 + \frac{6}{x-2} = \frac{x^2-10}{x-2}$
$(x+2)(x-2)+6 = x^2-10$
$x^2-4+6 = x^2-10 
ightarrow 2 = -10$ (Kontradiksi).

Kasus 2: $-2 < x < 2$. $|x+2|=x+2$, $|x-2|=2-x$.
$x+2 + \frac{6}{2-x} = \frac{10-x^2}{2-x}$
$(x+2)(2-x) + 6 = 10-x^2$
$4-x^2+6 = 10-x^2$
$10-x^2 = 10-x^2$ (Benar untuk $-2 < x < 2$).

Kasus 3: $x < -2$. $|x+2|=-(x+2)$, $|x-2|=2-x$.
$-(x+2) + \frac{6}{2-x} = \frac{10-x^2}{2-x}$
$-(x+2)(2-x) + 6 = 10-x^2$
$-(4-x^2) + 6 = 10-x^2$
$-4+x^2+6 = 10-x^2$
$x^2+2 = 10-x^2$
$2x^2 = 8$
$x^2 = 4$
$x = 	ext{±}2$. Karena $x < -2$, tidak ada solusi dari sini.

Perlu dicek juga $x=-2$. Jika $x=-2$, maka $|-2+2| + |6/(-2-2)| = (10-(-2)^2)/(2-(-2))$.
$0 + |6/-4| = (10-4)/4$
$3/2 = 6/4 = 3/2$. Jadi $x=-2$ adalah solusi.

Himpunan penyelesaiannya adalah $x=-2$ dan semua $x$ sehingga $-2 < x < 2$.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah $[-2, 2)$.

Soal menyatakan himpunan penyelesaiannya adalah $(p.q)$. Ini berarti ada kesalahan interpretasi atau soalnya mungkin memiliki format yang berbeda, misalnya mencari nilai $p$ dan $q$ dari suatu bentuk himpunan.

Jika yang dimaksud adalah mencari nilai $p$ dan $q$ sedemikian sehingga interval solusinya adalah $(p, q)$, maka dari $[-2, 2)$, kita bisa menganggap $p=-2$ dan $q=2$. Dalam hal ini, $pq = (-2)(2) = -4$.

Namun, jika soal benar-benar menyatakan himpunan penyelesaiannya adalah $(p.q)$, ini bisa merujuk pada pasangan terurut $(p, q)$. Tetapi himpunan penyelesaian dari persamaan ini adalah interval.

Mari kita asumsikan bahwa $(p.q)$ merujuk pada interval $(p, q)$ dan bahwa ada kesalahan penulisan di soal, dan seharusnya $p$ dan $q$ adalah batas intervalnya.
Jika himpunan penyelesaiannya adalah $[-2, 2)$, maka mungkin $p=-2$ dan $q=2$ adalah maksudnya, meskipun formatnya tidak sesuai.

Jika kita menganggap bahwa soal ini berasal dari pilihan ganda dan jawaban yang diberikan adalah hasil dari $pq$, kita perlu melihat pilihan jawabannya.

Jika kita mengasumsikan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah $(-2, 2)$, maka $p=-2$ dan $q=2$, sehingga $pq = -4$.
Jika kita mengasumsikan bahwa himpunan penyelesaiannya adalah $[-2, 2]$, maka $p=-2$ dan $q=2$, sehingga $pq = -4$.

Mari kita periksa jika ada kesalahan dalam langkah-langkah.

Kembali ke persamaan awal: $|x+2|+|(6)/(x-2)|=(10-x^2)/(2-x)$.

Jika $x=-2$, $0 + |6/-4| = (10-4)/4 
ightarrow 3/2 = 6/4 = 3/2$. Jadi $x=-2$ adalah solusi.

Jika $x=3$, $|3+2| + |6/(3-2)| = (10-9)/(2-3) 
ightarrow 5 + |6/1| = 1/-1 
ightarrow 5+6 = -1 
ightarrow 11 = -1$ (Salah).

Jika $x=0$, $|0+2| + |6/(0-2)| = (10-0)/(2-0) 
ightarrow 2 + |6/-2| = 10/2 
ightarrow 2 + 3 = 5 
ightarrow 5 = 5$. Jadi $x=0$ adalah solusi.

Jika $x=1$, $|1+2| + |6/(1-2)| = (10-1)/(2-1) 
ightarrow 3 + |6/-1| = 9/1 
ightarrow 3 + 6 = 9 
ightarrow 9 = 9$. Jadi $x=1$ adalah solusi.

Jika $x=-1$, $|-1+2| + |6/(-1-2)| = (10-1)/(2-(-1)) 
ightarrow |1| + |6/-3| = 9/3 
ightarrow 1 + |-2| = 3 
ightarrow 1+2 = 3 
ightarrow 3 = 3$. Jadi $x=-1$ adalah solusi.

Ini mengkonfirmasi bahwa interval $(-2, 2)$ adalah bagian dari solusi.

Himpunan penyelesaiannya adalah $[-2, 2)$.

Jika