Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4. Titik T pada

tan alpha = sqrt(2)/4

Pembahasan

Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4. Titik T pada perpanjangan CG sehingga CG = GT. Ini berarti panjang CT = 2 * CG = 2 * 4 = 8.

Kita perlu mencari sudut antara garis TC dan bidang BDT. Untuk itu, kita perlu mencari vektor normal dari bidang BDT dan vektor arah dari garis TC.

Misalkan B = (4, 0, 0), D = (0, 4, 0), T = (4, 4, 8) (dengan asumsi C = (4,4,0) dan G = (4,4,4)).

Vektor BD = D - B = (0-4, 4-0, 0-0) = (-4, 4, 0)
Vektor BT = T - B = (4-4, 4-0, 8-0) = (0, 4, 8)

Untuk mencari vektor normal bidang BDT, kita gunakan perkalian silang BD x BT:
BD x BT =  | i   j   k  |
          | -4  4   0  |
          | 0   4   8  |
        = i(4*8 - 0*4) - j((-4)*8 - 0*0) + k((-4)*4 - 4*0)
        = i(32) - j(-32) + k(-16)
        = (32, 32, -16). Kita bisa sederhanakan menjadi (2, 2, -1) sebagai vektor normal (n).

Vektor arah garis TC adalah vektor CT = T - C = (4-4, 4-4, 8-0) = (0, 0, 8). Kita bisa sederhanakan menjadi (0, 0, 1) sebagai vektor arah (v).

Sudut alpha antara garis TC dan bidang BDT adalah:
sin alpha = |(v . n)| / (||v|| * ||n||)

v . n = (0 * 2) + (0 * 2) + (1 * -1) = -1
||v|| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1
||n|| = sqrt(2^2 + 2^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(9) = 3

sin alpha = |-1| / (1 * 3) = 1/3

Jika sin alpha = 1/3, kita bisa membuat segitiga siku-siku dengan sisi depan 1 dan sisi miring 3. Sisi samping adalah sqrt(3^2 - 1^2) = sqrt(8) = 2*sqrt(2).

Maka, tan alpha = sisi depan / sisi samping = 1 / (2*sqrt(2)) = sqrt(2) / 4.