Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x - 3 cos x = 0

Sekitar $106.26^{\circ}$ dan $253.74^{\circ}$

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan $\cos 2x - 3 \cos x = 0$ untuk $0 \leq x \leq 360^{\circ}$.

Kita gunakan identitas $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$. Substitusikan ini ke dalam persamaan:
$(2\cos^2 x - 1) - 3 \cos x = 0$
$2\cos^2 x - 3 \cos x - 1 = 0$

Misalkan $u = \cos x$. Persamaan menjadi persamaan kuadrat dalam $u$:
$2u^2 - 3u - 1 = 0$

Gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai $u$:
$u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$u = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)}$
$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4}$
$u = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

Jadi, kita punya dua kemungkinan nilai untuk $\cos x$:
$\\cos x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$ atau $\\cos x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$

Kita tahu bahwa nilai $\cos x$ harus berada di antara -1 dan 1.

Untuk $\\cos x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$: $\sqrt{17}$ kira-kira 4.12. Jadi, $\\cos x \approx \frac{3 + 4.12}{4} = \frac{7.12}{4} \approx 1.78$. Nilai ini lebih besar dari 1, sehingga tidak ada solusi untuk $\cos x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}$.

Untuk $\\cos x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}$: $\\cos x \approx \frac{3 - 4.12}{4} = \frac{-1.12}{4} \approx -0.28$.
Nilai ini berada di antara -1 dan 1, jadi ada solusi.

Karena $\cos x$ negatif, solusi $x$ berada di kuadran II dan kuadran III.

Cari nilai referensi:
$x_{ref} = \arccos(0.28) \approx 73.74^{\circ}$

Di kuadran II: $x = 180^{\circ} - x_{ref} \approx 180^{\circ} - 73.74^{\circ} = 106.26^{\circ}$
Di kuadran III: $x = 180^{\circ} + x_{ref} \approx 180^{\circ} + 73.74^{\circ} = 253.74^{\circ}$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah sekitar $106.26^{\circ}$ dan $253.74^{\circ}$.