Himpunan penyelesaian dari persamaan sin 2x-cos 2x=1 untuk

Himpunan penyelesaiannya adalah {45°, 90°, 225°, 270°}.

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan persamaan sin 2x - cos 2x = 1 untuk 0 < x < 360 derajat.

Langkah 1: Gunakan identitas trigonometri.
Kita bisa menggunakan rumus R sin(θ - α) atau R cos(θ + α).
Mari kita gunakan bentuk R cos(2x + α).
Ingat bahwa a cos θ + b sin θ = R cos(θ - α), di mana R = sqrt(a² + b²) dan tan α = b/a.

Dalam kasus kita, kita memiliki -cos 2x + sin 2x = 1. Ini sedikit berbeda karena kita memiliki koefisien -1 untuk cos 2x dan 1 untuk sin 2x.
Mari kita ubah bentuknya menjadi bentuk standar R sin(2x - α) atau R cos(2x + α).

Kita punya bentuk A sin θ + B cos θ = R sin(θ + α) di mana R = sqrt(A² + B²) dan tan α = B/A.
Dalam kasus kita, A = 1 (untuk sin 2x) dan B = -1 (untuk cos 2x).

R = sqrt(1² + (-1)²) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2).

Untuk mencari α, kita gunakan tan α = B/A = -1/1 = -1.
Karena A positif (1) dan B negatif (-1), sudut α berada di kuadran IV. Nilai α yang memenuhi tan α = -1 adalah 315° atau -45°.
Kita bisa gunakan α = -45°.

Maka, sin 2x - cos 2x = sqrt(2) sin(2x - 45°).

Jadi, persamaan menjadi: sqrt(2) sin(2x - 45°) = 1
sin(2x - 45°) = 1 / sqrt(2) = sqrt(2) / 2

Langkah 2: Cari nilai sudut.
Nilai sinus yang menghasilkan sqrt(2) / 2 adalah 45° dan 135°.

Maka, kita punya dua kasus:

Kasus 1: 2x - 45° = 45° + n * 360°
2x = 90° + n * 360°
x = 45° + n * 180°

Untuk n=0, x = 45°.
Untuk n=1, x = 45° + 180° = 225°.

Kasus 2: 2x - 45° = 135° + n * 360°
2x = 180° + n * 360°
x = 90° + n * 180°

Untuk n=0, x = 90°.
Untuk n=1, x = 90° + 180° = 270°.

Semua nilai x (45°, 90°, 225°, 270°) berada dalam interval 0 < x < 360.

Mari kita verifikasi:
Untuk x = 45°: sin(90°) - cos(90°) = 1 - 0 = 1 (Benar)
Untuk x = 90°: sin(180°) - cos(180°) = 0 - (-1) = 1 (Benar)
Untuk x = 225°: sin(450°) - cos(450°) = sin(90°) - cos(90°) = 1 - 0 = 1 (Benar)
Untuk x = 270°: sin(540°) - cos(540°) = sin(180°) - cos(180°) = 0 - (-1) = 1 (Benar)

Himpunan penyelesaiannya adalah {45°, 90°, 225°, 270°}.