Himpunan penyelesaian dari persamaan sin x=cos (2/3)x,

{3π/10, 9π/10, 3π/2}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\sin x = \cos (2/3)x$ untuk $0 \leq x \leq 2\pi$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\cos \theta = \sin (90^\circ - \theta)$ atau $\cos \theta = \sin (\pi/2 - \theta)$ dalam radian.

Mengubah $\cos (2/3)x$ menjadi $\sin$:
$\sin x = \sin (\pi/2 - (2/3)x)$

Dari sini, kita memiliki dua kemungkinan:
1) $x = \pi/2 - (2/3)x + 2k\pi$
   $x + (2/3)x = \pi/2 + 2k\pi$
   $(5/3)x = \pi/2 + 2k\pi$
   $x = (3/5)(\pi/2 + 2k\pi)$
   $x = 3\pi/10 + 6k\pi/5$

Untuk $k=0$, $x = 3\pi/10$.
Untuk $k=1$, $x = 3\pi/10 + 6\pi/5 = 3\pi/10 + 12\pi/10 = 15\pi/10 = 3\pi/2$.

2) $x = \pi - (\pi/2 - (2/3)x) + 2k\pi$
   $x = \pi - \pi/2 + (2/3)x + 2k\pi$
   $x = \pi/2 + (2/3)x + 2k\pi$
   $x - (2/3)x = \pi/2 + 2k\pi$
   $(1/3)x = \pi/2 + 2k\pi$
   $x = 3(\pi/2 + 2k\pi)$
   $x = 3\pi/2 + 6k\pi$

Untuk $k=0$, $x = 3\pi/2$. (Nilai ini sudah ditemukan di kasus pertama)

Kita juga perlu mempertimbangkan kasus ketika $\cos(2/3)x$ negatif, yang berarti $\sin x$ juga negatif. Kita bisa menggunakan $\cos \theta = \sin (\theta - \pi/2)$ atau $\cos \theta = \sin (3\pi/2 - \theta)$.

Mari kita gunakan $\cos \theta = \sin (3\pi/2 - \theta)$:
$\sin x = \sin (3\pi/2 - (2/3)x)$

1') $x = 3\pi/2 - (2/3)x + 2k\pi$
    $x + (2/3)x = 3\pi/2 + 2k\pi$
    $(5/3)x = 3\pi/2 + 2k\pi$
    $x = (3/5)(3\pi/2 + 2k\pi)$
    $x = 9\pi/10 + 6k\pi/5$

Untuk $k=0$, $x = 9\pi/10$.

2') $x = \pi - (3\pi/2 - (2/3)x) + 2k\pi$
    $x = \pi - 3\pi/2 + (2/3)x + 2k\pi$
    $x = -\pi/2 + (2/3)x + 2k\pi$
    $x - (2/3)x = -\pi/2 + 2k\pi$
    $(1/3)x = -\pi/2 + 2k\pi$
    $x = 3(-\pi/2 + 2k\pi)$
    $x = -3\pi/2 + 6k\pi$

Untuk $k=1$, $x = -3\pi/2 + 6\pi = (-3+12)\pi/2 = 9\pi/2$. (Di luar rentang)

Jadi, solusi dalam rentang $0 \leq x \leq 2\pi$ adalah $3\pi/10$, $9\pi/10$, dan $3\pi/2$.