Jika f(x)=(sin x + cos x)(cos 2x + sin 2x) dan f'(x) = 2

$g(x) = \cos 3x - \sin x$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari turunan dari fungsi $f(x)$ dan kemudian menentukan $g(x)$ berdasarkan informasi yang diberikan.

Fungsi yang diberikan adalah $f(x) = (\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$.
Kita juga diberikan bahwa $f'(x) = 2 \cos 3x + g(x)$.

Langkah 1: Sederhanakan $f(x)$ jika memungkinkan.
Kita bisa menggunakan identitas trigonometri:
$\,\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$
$\,\sin 2x = 2 \sin x \cos x$

Mari kita coba ekspansi langsung terlebih dahulu:
$f(x) = \sin x \cos 2x + \sin x \sin 2x + \cos x \cos 2x + \cos x \sin 2x$

Kita juga bisa menggunakan identitas jumlah dan selisih sudut untuk $\sin(A+B)$ dan $\cos(A+B)$.
Perhatikan bahwa $(\sin x + \cos x)$ adalah bagian dari $\sin(x + \pi/4)$ atau $\sqrt{2} \sin(x + \pi/4)$.

Mari kita gunakan identitas perkalian ke penjumlahan:
$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$
$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
$\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
$\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$

Mari kita coba identitas lain:
$f(x) = (\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$
Perhatikan bahwa $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \sin(2x + \pi/4)$ atau $\sqrt{2} \cos(2x - \pi/4)$.

Mari kita coba ekspansi $f(x)$ seperti ini:
$f(x) = \sin x \cos 2x + \sin x \sin 2x + \cos x \cos 2x + \cos x \sin 2x$
Kelompokkan:
$f(x) = (\cos x \cos 2x + \sin x \sin 2x) + (\sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x)$

Menggunakan identitas $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ dan $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:
$f(x) = \cos(2x - x) + \sin(x + 2x)$
$f(x) = \cos x + \sin 3x$.

Sekarang kita perlu mencari turunan pertama dari $f(x)$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + \sin 3x)$
$f'(x) = -\sin x + \frac{d}{dx}(\sin 3x)$
Untuk $\frac{d}{dx}(\sin 3x)$, gunakan aturan rantai. Misalkan $u = 3x$, maka $\frac{du}{dx} = 3$. $\frac{d}{dx}(\sin u) = \cos u \frac{du}{dx}$.
$\frac{d}{dx}(\sin 3x) = \cos(3x) \times 3 = 3 \cos 3x$.

Jadi, $f'(x) = -\sin x + 3 \cos 3x$.

Kita diberikan $f'(x) = 2 \cos 3x + g(x)$.
Samakan kedua ekspresi untuk $f'(x)$:
$-\sin x + 3 \cos 3x = 2 \cos 3x + g(x)$.

Sekarang, selesaikan untuk $g(x)$:
$g(x) = -\sin x + 3 \cos 3x - 2 \cos 3x$
$g(x) = -\sin x + (3 - 2) \cos 3x$
$g(x) = -\sin x + \cos 3x$.

Mari kita periksa kembali langkah-langkahnya, terutama penyederhanaan $f(x)$.
$f(x) = (\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$
Penggunaan identitas $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \sin(2x + \pi/4)$ atau $\sqrt{2} \cos(2x - \pi/4)$ mungkin lebih rumit.

Mari kita gunakan identitas $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \pi/4)$.
Dan $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2} \sin(2x + \pi/4)$.
$f(x) = \sqrt{2} \sin(x + \pi/4) \times \sqrt{2} \sin(2x + \pi/4)$
$f(x) = 2 \sin(x + \pi/4) \sin(2x + \pi/4)$.

Menggunakan identitas produk ke jumlah: $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$.
Misalkan $A = x + \pi/4$ dan $B = 2x + \pi/4$.
$A - B = (x + \pi/4) - (2x + \pi/4) = x + \pi/4 - 2x - \pi/4 = -x$.
$A + B = (x + \pi/4) + (2x + \pi/4) = 3x + \pi/2$.

$f(x) = \cos(-x) - \cos(3x + \pi/2)$.
Karena $\cos(-x) = \cos x$ dan $\cos(y + \pi/2) = -\sin y$, maka $\cos(3x + \pi/2) = -\sin 3x$.

Jadi, $f(x) = \cos x - (-\sin 3x) = \cos x + \sin 3x$.

Ini mengkonfirmasi hasil penyederhanaan sebelumnya.

Sekarang, kita ulangi turunan:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + \sin 3x) = -\sin x + 3\cos 3x$.

Kita punya $f'(x) = 2 \cos 3x + g(x)$.
$-\sin x + 3\cos 3x = 2 \cos 3x + g(x)$.
$g(x) = -\sin x + 3\cos 3x - 2\cos 3x$
$g(x) = -\sin x + \cos 3x$.

**Jawaban Lengkap:**
1.  **Sederhanakan fungsi $f(x)$:**
    $f(x) = (\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$
    Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakannya. Perhatikan bahwa:
    *   $\sin x + \cos x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x) = \sqrt{2}(\cos(\pi/4)\sin x + \sin(\pi/4)\cos x) = \sqrt{2}\sin(x + \pi/4)$
    *   $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x) = \sqrt{2}(\sin(\pi/4)\cos 2x + \cos(\pi/4)\sin 2x) = \sqrt{2}\sin(2x + \pi/4)$
    Atau, bisa juga ditulis $\cos 2x + \sin 2x = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x) = \sqrt{2}(\cos x \sin 2x + \sin x \cos 2x) = \sqrt{2}\sin(2x+x)=\sqrt{2}sin(3x)$. Ini salah.

    Mari kita gunakan pendekatan lain:
    $f(x) = (\sin x + \cos x)(\cos 2x + \sin 2x)$
    Ekspansi:
    $f(x) = \sin x \cos 2x + \sin x \sin 2x + \cos x \cos 2x + \cos x \sin 2x$
    Kelompokkan:
    $f(x) = (\cos x \cos 2x + \sin x \sin 2x) + (\sin x \cos 2x + \cos x \sin 2x)$
    Gunakan identitas $\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ dan $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$:
    $f(x) = \cos(2x - x) + \sin(x + 2x)$
    $f(x) = \cos x + \sin 3x$

2.  **Cari turunan pertama $f'(x)$:**
    $f'(x) = \frac{d}{dx}(\cos x + \sin 3x)$
    $f'(x) = -\sin x + \frac{d}{dx}(\sin 3x)$
    Menggunakan aturan rantai untuk $\sin 3x$, turunannya adalah $3\cos 3x$.
    Jadi, $f'(x) = -\sin x + 3\cos 3x$.

3.  **Tentukan $g(x)$:**
    Kita diberikan $f'(x) = 2 \cos 3x + g(x)$.
    Samakan kedua ekspresi untuk $f'(x)$:
    $-\sin x + 3\cos 3x = 2 \cos 3x + g(x)$
    Pindahkan suku-suku untuk mengisolasi $g(x)$:
    $g(x) = -\sin x + 3\cos 3x - 2\cos 3x$
    $g(x) = -\sin x + \cos 3x$

**Jawaban Ringkas:**
$g(x) = \cos 3x - \sin x$