Himpunan penyelesaian pertidaksamaan (2x-6)/(x^2-6x+5)<0

{x | x < 1 atau 3 < x < 5}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan \((2x-6)/(x^2-6x+5)<0\), kita perlu menganalisis tanda dari pembilang dan penyebut.

1.  **Faktorkan penyebut:**
    Penyebutnya adalah \(x^2-6x+5\). Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan 5 dan jika dijumlahkan menghasilkan -6. Bilangan tersebut adalah -1 dan -5.
    Jadi, \(x^2-6x+5 = (x-1)(x-5)\).

2.  **Tentukan akar-akar dari pembilang dan penyebut:**
    *   Pembilang: \(2x-6 = 0 
ightarrow 2x = 6 
ightarrow x = 3\).
    *   Penyebut: \((x-1)(x-5) = 0 
ightarrow x = 1\) atau \(x = 5\).
    Perlu diingat bahwa nilai \(x = 1\) dan \(x = 5\) membuat penyebut menjadi nol, sehingga fungsi tidak terdefinisi pada nilai-nilai ini.

3.  **Buat garis bilangan:**
    Kita tempatkan akar-akar (3, 1, dan 5) pada garis bilangan dan tentukan tanda ekspresi \((2x-6)/((x-1)(x-5))\) di setiap interval.
    Intervalnya adalah: \((-\	ext{inf}, 1)\), \((1, 3)\), \((3, 5)\), dan \((5, \	ext{inf})\).

    *   **Interval \((-\	ext{inf}, 1)\):** Ambil \(x = 0\).
        Pembilang: \(2(0)-6 = -6\) (negatif)
        Penyebut: \((0-1)(0-5) = (-1)(-5) = 5\) (positif)
        Hasil: negatif / positif = negatif.

    *   **Interval \((1, 3)\):** Ambil \(x = 2\).
        Pembilang: \(2(2)-6 = 4-6 = -2\) (negatif)
        Penyebut: \((2-1)(2-5) = (1)(-3) = -3\) (negatif)
        Hasil: negatif / negatif = positif.

    *   **Interval \((3, 5)\):** Ambil \(x = 4\).
        Pembilang: \(2(4)-6 = 8-6 = 2\) (positif)
        Penyebut: \((4-1)(4-5) = (3)(-1) = -3\) (negatif)
        Hasil: positif / negatif = negatif.

    *   **Interval \((5, \	ext{inf})\):** Ambil \(x = 6\).
        Pembilang: \(2(6)-6 = 12-6 = 6\) (positif)
        Penyebut: \((6-1)(6-5) = (5)(1) = 5\) (positif)
        Hasil: positif / positif = positif.

4.  **Tentukan himpunan penyelesaian:**
    Kita mencari interval di mana ekspresi kurang dari 0 (negatif).
    Berdasarkan analisis di atas, ekspresi negatif pada interval \((-\	ext{inf}, 1)\) dan \((3, 5)\).

    Karena penyebut tidak boleh nol, maka \(x \neq 1\) dan \(x \neq 5\). Titik \(x=3\) adalah akar dari pembilang, jadi ekspresi bernilai nol di situ. Kita membutuhkan ekspresi yang *kurang dari* nol, bukan kurang dari atau sama dengan nol.

    Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah \(x < 1\) atau \(3 < x < 5\).
    Dalam notasi interval, ini adalah \((-\	ext{inf}, 1) 	ext{ U } (3, 5)\).