Himpunan penyelesaian |x+3l /|x-4|< 2 adalah

Himpunan penyelesaiannya adalah $x < \frac{5}{3}$ atau $x > 11$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak $\frac{|x+3|}{|x-4|} < 2$, kita dapat mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan (karena kedua sisi non-negatif):
$$ \left( \frac{|x+3|}{|x-4|} \right)^2 < 2^2 $$ 
$$ \frac{(x+3)^2}{(x-4)^2} < 4 $$ 
Karena $(x-4)^2$ selalu positif untuk $x \neq 4$, kita dapat mengalikan kedua sisi dengan $(x-4)^2$:
$$ (x+3)^2 < 4(x-4)^2 $$ 
$$ x^2 + 6x + 9 < 4(x^2 - 8x + 16) $$ 
$$ x^2 + 6x + 9 < 4x^2 - 32x + 64 $$ 
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk mendapatkan pertidaksamaan kuadrat:
$$ 0 < 4x^2 - x^2 - 32x - 6x + 64 - 9 $$ 
$$ 0 < 3x^2 - 38x + 55 $$ 
Sekarang kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat $3x^2 - 38x + 55 = 0$. Kita bisa menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$:
$$ x = \frac{-(-38) \pm \sqrt{(-38)^2 - 4(3)(55)}}{2(3)} $$ 
$$ x = \frac{38 \pm \sqrt{1444 - 660}}{6} $$ 
$$ x = \frac{38 \pm \sqrt{784}}{6} $$ 
$$ x = \frac{38 \pm 28}{6} $$ 
Dua akar adalah:
$$ x_1 = \frac{38 + 28}{6} = \frac{66}{6} = 11 $$ 
$$ x_2 = \frac{38 - 28}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} $$ 
Pertidaksamaan $3x^2 - 38x + 55 > 0$ berarti kita mencari nilai $x$ di luar akar-akar tersebut. Juga, kita harus ingat bahwa $x \neq 4$. 
Himpunan penyelesaiannya adalah $x < \frac{5}{3}$ atau $x > 11$. 
Dalam notasi interval, ini adalah $(-\infty, \frac{5}{3}) \cup (11, \infty)$.