Hitunglah.a. lim x->1 (x-1)/akar(x^2+3)-2b. lim x ->1

a. 2, b. 1/4

Pembahasan

Untuk menghitung limit tersebut, kita akan gunakan metode substitusi atau manipulasi aljabar jika diperlukan.

a. $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2}$
Jika kita substitusi $x=1$, kita mendapatkan $\frac{1-1}{\sqrt{1^2+3}-2} = \frac{0}{\sqrt{4}-2} = \frac{0}{2-2} = \frac{0}{0}$. Ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu manipulasi.
Kalikan dengan konjugat dari penyebut:
$\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} \times \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x^2+3) - 4}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x-1)(x+1)}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{x+1}$
Substitusi $x=1$:
$= \frac{\sqrt{1^2+3}+2}{1+1} = \frac{\sqrt{4}+2}{2} = \frac{2+2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

b. $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-x-1}{1-x^2}$
Jika kita substitusi $x=1$, kita mendapatkan $\frac{\sqrt{1^2+3}-1-1}{1-1^2} = \frac{\sqrt{4}-2}{1-1} = \frac{2-2}{0} = \frac{0}{0}$. Ini adalah bentuk tak tentu.
Kita bisa memisahkan $\sqrt{x^2+3}-x-1$ menjadi $\sqrt{x^2+3}-2$ dan $-x+1$. Namun, penyebutnya $1-x^2 = (1-x)(1+x)$.
Kita bisa gunakan L'Hopital's Rule karena bentuknya $\frac{0}{0}$.
Turunan dari pembilang: $\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2+3}-x-1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2+3}} \cdot 2x - 1 = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}} - 1$
Turunan dari penyebut: $\frac{d}{dx}(1-x^2) = -2x$

Maka limitnya menjadi:
$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+3}} - 1}{-2x}$
Substitusi $x=1$:
$= \frac{\frac{1}{\sqrt{1^2+3}} - 1}{-2(1)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{4}} - 1}{-2} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{-2} = \frac{-\frac{1}{2}}{-2} = \frac{1}{4}$.

Atau dengan manipulasi aljabar:
$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-x-1}{1-x^2} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}-(x+1)}{(1-x)(1+x)}$
Kalikan dengan konjugat dari pembilang $(\sqrt{x^2+3}+(x+1))$:
$= \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x^2+3}-(x+1))(\sqrt{x^2+3}+(x+1))}{(1-x)(1+x)(\sqrt{x^2+3}+(x+1))}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{(x^2+3) - (x+1)^2}{(1-x)(1+x)(\sqrt{x^2+3}+(x+1))}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{x^2+3 - (x^2+2x+1)}{(1-x)(1+x)(\sqrt{x^2+3}+(x+1))}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{x^2+3 - x^2-2x-1}{(1-x)(1+x)(\sqrt{x^2+3}+(x+1))}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{2-2x}{(1-x)(1+x)(\sqrt{x^2+3}+(x+1))}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{2(1-x)}{(1-x)(1+x)(\sqrt{x^2+3}+(x+1))}$
$= \lim_{x \to 1} \frac{2}{(1+x)(\sqrt{x^2+3}+(x+1))}$
Substitusi $x=1$:
$= \frac{2}{(1+1)(\sqrt{1^2+3}+(1+1))} = \frac{2}{(2)(\sqrt{4}+2)} = \frac{2}{2(2+2)} = \frac{2}{2(4)} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.