Hitunglah integral berikut.integral akar((4-x^2)/(x^2))dx

Integral dari akar((4-x^2)/(x^2))dx adalah 2ln|((2-sqrt(4-x^2))/x)| + sqrt(4-x^2) + C (untuk x>0).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral $\int \sqrt{\frac{4-x^2}{x^2}} dx$, kita dapat menyederhanakan ekspresi di dalam akar terlebih dahulu.

$\sqrt{\frac{4-x^2}{x^2}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{\sqrt{x^2}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{|x|}$

Integral menjadi: $\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{|x|} dx$

Kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan tanda $|x|$:

Kasus 1: $x > 0$, maka $|x| = x$.
Integral: $\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x} dx$

Untuk menyelesaikan integral ini, kita bisa menggunakan substitusi trigonometri. Misalkan $x = 2\sin(\theta)$, maka $dx = 2\cos(\theta) d\theta$.
$\\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4 - (2\sin(\theta))^2} = \sqrt{4 - 4\sin^2(\theta)} = \sqrt{4(1 - \sin^2(\theta))} = \sqrt{4\cos^2(\theta)} = 2\cos(\theta)$

Substitusikan ke dalam integral:
$\int \frac{2\cos(\theta)}{2\sin(\theta)} (2\cos(\theta) d\theta) = \int \frac{2\cos^2(\theta)}{\sin(\theta)} d\theta$

Gunakan identitas $\cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta)$:
$\int \frac{2(1 - \sin^2(\theta))}{\sin(\theta)} d\theta = \int (\frac{2}{\sin(\theta)} - 2\sin(\theta)) d\theta$
$= \int (2\csc(\theta) - 2\sin(\theta)) d\theta$
$= 2 \int \csc(\theta) d\theta - 2 \int \sin(\theta) d\theta$
$= 2 \ln|\csc(\theta) - \cot(\theta)| - 2(-\cos(\theta)) + C$
$= 2 \ln|\csc(\theta) - \cot(\theta)| + 2\cos(\theta) + C$

Sekarang kita perlu mengubah kembali ke x. Dari $x = 2\sin(\theta)$, maka $\sin(\theta) = x/2$.
Buat segitiga siku-siku dengan sisi depan x, sisi miring 2. Sisi samping adalah $\sqrt{2^2 - x^2} = \sqrt{4-x^2}$.
$\\cos(\theta) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$
$\\csc(\theta) = \frac{2}{x}$
$\\cot(\theta) = \frac{\sqrt{4-x^2}}{x}$

Substitusikan kembali:
$2 \ln|\frac{2}{x} - \frac{\sqrt{4-x^2}}{x}| + 2(\frac{\sqrt{4-x^2}}{2}) + C$
$= 2 \ln|\frac{2 - \sqrt{4-x^2}}{x}| + \sqrt{4-x^2} + C$

Kasus 2: $x < 0$, maka $|x| = -x$.
Integral: $\int \frac{\sqrt{4-x^2}}{-x} dx = - \int \frac{\sqrt{4-x^2}}{x} dx$

Ini akan menghasilkan negatif dari hasil kasus 1:
$- (2 \ln|\frac{2 - \sqrt{4-x^2}}{x}| + \sqrt{4-x^2}) + C$
$= -2 \ln|\frac{2 - \sqrt{4-x^2}}{x}| - \sqrt{4-x^2} + C$

Karena soal tidak menspesifikasikan domain x, kita bisa menyajikan kedua kemungkinan atau memilih domain yang umum, misal $x > 0$.

Integral dari $\sqrt{\frac{4-x^2}{x^2}}dx$ adalah $2 \ln|\frac{2 - \sqrt{4-x^2}}{x}| + \sqrt{4-x^2} + C$ untuk $x > 0$ dan $-2 \ln|\frac{2 - \sqrt{4-x^2}}{x}| - \sqrt{4-x^2} + C$ untuk $x < 0$.