Hitunglah lim _(x -> 0) (1-cos 4 x)/(sin 2 x tan 3 x)

4/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x=0 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

Limit yang diberikan adalah: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(4x)}{\sin(2x) \tan(3x)}$

Kita akan menerapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x.

Turunan dari pembilang (1 - cos(4x)) adalah:
$rac{d}{dx}(1 - \cos(4x)) = 0 - (-\sin(4x) \cdot 4) = 4\sin(4x)$

Turunan dari penyebut (sin(2x) tan(3x)) adalah:
Kita gunakan aturan perkalian (uv)' = u'v + uv'.
Misalkan u = sin(2x) dan v = tan(3x).
$rac{du}{dx} = 2\cos(2x)$
$rac{dv}{dx} = 3\sec^2(3x)$

Maka, turunan penyebut adalah:
$(2\cos(2x))(\tan(3x)) + (\sin(2x))(3\sec^2(3x))$
$= 2\cos(2x)\tan(3x) + 3\sin(2x)\sec^2(3x)$

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{4\sin(4x)}{2\cos(2x)\tan(3x) + 3\sin(2x)\sec^2(3x)}$

Jika kita substitusikan x=0 sekarang:
Pembilang: $4\sin(0) = 0$
Penyebut: $2\cos(0)\tan(0) + 3\sin(0)\sec^2(0) = 2(1)(0) + 3(0)(1)^2 = 0$

Kita masih mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, jadi kita perlu menerapkan aturan L'Hopital lagi.

Turunan dari pembilang baru ($4\sin(4x)$) adalah:
$rac{d}{dx}(4\sin(4x)) = 4(\cos(4x) \cdot 4) = 16\cos(4x)$

Turunan dari penyebut baru ($2\cos(2x)\tan(3x) + 3\sin(2x)\sec^2(3x)$) adalah:
Kita perlu menurunkan setiap suku.

Suku 1: $2\cos(2x)\tan(3x)$
Turunannya: $(2(-\sin(2x)\cdot 2))(\tan(3x)) + (2\cos(2x))(3\sec^2(3x))$
$= -4\sin(2x)\tan(3x) + 6\cos(2x)\sec^2(3x)$

Suku 2: $3\sin(2x)\sec^2(3x)$
Turunannya: $(3(\cos(2x)\cdot 2))(\sec^2(3x)) + (3\sin(2x))(2\sec(3x) \cdot \sec(3x)\tan(3x) \cdot 3)$
$= 6\cos(2x)\sec^2(3x) + 18\sin(2x)\sec^2(3x)\tan(3x)$

Jadi, turunan penyebut gabungan adalah:
$(-4\sin(2x)\tan(3x) + 6\cos(2x)\sec^2(3x)) + (6\cos(2x)\sec^2(3x) + 18\sin(2x)\sec^2(3x)\tan(3x))$
$= -4\sin(2x)\tan(3x) + 12\cos(2x)\sec^2(3x) + 18\sin(2x)\sec^2(3x)\tan(3x)$

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to 0} \frac{16\cos(4x)}{-4\sin(2x)\tan(3x) + 12\cos(2x)\sec^2(3x) + 18\sin(2x)\sec^2(3x)\tan(3x)}$

Sekarang substitusikan x=0:
Pembilang: $16\cos(0) = 16(1) = 16$
Penyebut:
Suku 1: $-4\sin(0)\tan(0) = -4(0)(0) = 0$
Suku 2: $12\cos(0)\sec^2(0) = 12(1)(1)^2 = 12$
Suku 3: $18\sin(0)\sec^2(0)\tan(0) = 18(0)(1)^2(0) = 0$

Penyebut total = 0 + 12 + 0 = 12

Jadi, nilai limitnya adalah:
$\frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

Alternatif menggunakan limit standar:
Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(ax)}{x^2} = \frac{a^2}{2}$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(bx)}{bx} = 1$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan(cx)}{cx} = 1$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(4x)}{\sin(2x) \tan(3x)}$
Kita bisa memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk limit standar:
$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(4x)}{x^2} \cdot \frac{x^2}{\sin(2x) \tan(3x)}$
$= \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(4x)}{x^2} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(2x)} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(3x)}$

Untuk suku pertama: $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(4x)}{x^2} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8$

Untuk suku kedua: $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} \frac{2x}{\sin(2x)} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$

Untuk suku ketiga: $\lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan(3x)} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{3} \frac{3x}{\tan(3x)} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}$

Jadi, hasil limitnya adalah:
$8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Kedua metode memberikan hasil yang sama.