Hitunglah limit berikut. limit x -> 1

Nilai limitnya adalah 3/5.

Pembahasan

Untuk menghitung limit fungsi rasional saat x mendekati suatu nilai, kita dapat mencoba substitusi langsung terlebih dahulu. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (seperti 0/0), kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut.

Fungsi yang diberikan adalah: f(x) = (x⁵ - x³ + 2x² - 3x + 1) / (x⁵ - 1)
Kita perlu menghitung limit saat x → 1.

Substitusi x = 1 ke dalam fungsi:
Pembilang: 1⁵ - 1³ + 2(1)² - 3(1) + 1 = 1 - 1 + 2 - 3 + 1 = 0
Penyebut: 1⁵ - 1 = 1 - 1 = 0

Karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menggunakan metode lain, seperti faktorisasi atau aturan L'Hôpital.

Mari kita gunakan aturan L'Hôpital karena kedua fungsi (pembilang dan penyebut) dapat diturunkan.
Aturan L'Hôpital menyatakan bahwa jika limit f(x)/g(x) saat x→c menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan limit f'(x)/g'(x) saat x→c.

Turunan dari pembilang (f'(x)):
d/dx (x⁵ - x³ + 2x² - 3x + 1) = 5x⁴ - 3x² + 4x - 3

Turunan dari penyebut (g'(x)):
d/dx (x⁵ - 1) = 5x⁴

Sekarang, kita hitung limit dari f'(x)/g'(x) saat x → 1:
limit x→1 (5x⁴ - 3x² + 4x - 3) / (5x⁴)

Substitusi x = 1 ke dalam ekspresi yang diturunkan:
(5(1)⁴ - 3(1)² + 4(1) - 3) / (5(1)⁴)
= (5 - 3 + 4 - 3) / 5
= (2 + 4 - 3) / 5
= (6 - 3) / 5
= 3 / 5

Jadi, nilai limitnya adalah 3/5.