Jika sin(x+30)=sin x, buktikanlah bahwa tan x=2+akar(3).

tan x = 2 + akar(3).

Pembahasan

Untuk membuktikan bahwa tan x = 2 + akar(3) jika sin(x+30) = sin x, kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Dari sin(x+30) = sin x, kita tahu bahwa x+30 = x + n*360 atau x+30 = (180-x) + n*360. Kasus pertama tidak memberikan solusi. Kasus kedua memberikan 2x = 150 + n*360, sehingga x = 75 + n*180. Jika kita ambil n=0, maka x = 75 derajat. Maka tan(75) = tan(45+30) = (tan 45 + tan 30) / (1 - tan 45 * tan 30) = (1 + 1/akar(3)) / (1 - 1 * 1/akar(3)) = ( (akar(3)+1)/akar(3) ) / ( (akar(3)-1)/akar(3) ) = (akar(3)+1) / (akar(3)-1). Jika kita rasionalkan penyebutnya dengan mengalikan (akar(3)+1)/(akar(3)+1), kita mendapatkan ((akar(3)+1)^2) / (3-1) = (3 + 2akar(3) + 1) / 2 = (4 + 2akar(3)) / 2 = 2 + akar(3).