Hitunglah limit fungsi trigonometri berikut. limit x

Limit tidak terdefinisi (mendekati ±∞).

Pembahasan

Untuk menghitung limit fungsi trigonometri \(\\lim_{x \to \pi/4} \frac{2(\sin x - \cos x)}{1 - \sin 2x}\), kita dapat melakukan substitusi langsung. Namun, jika menghasilkan bentuk tak tentu \(0/0\), kita perlu menggunakan identitas trigonometri atau aturan L'Hopital.\n\nSubstitusi \(x = \pi/4\):\n\(\sin(\pi/4) = \frac{\\sqrt{2}}{2}\) dan \(\cos(\pi/4) = \frac{\\sqrt{2}}{2}\).\nMaka, \(\sin 2x = \sin(2 \times \pi/4) = \sin(\pi/2) = 1\).\n\nPembilang: \(2(\sin x - \cos x) = 2(\frac{\\sqrt{2}}{2} - \frac{\\sqrt{2}}{2}) = 0\).\nPenyebut: \(1 - \sin 2x = 1 - 1 = 0\).\nKarena menghasilkan bentuk tak tentu \(0/0\), kita gunakan aturan L'Hopital.\n\nTurunan pembilang terhadap x: \(\frac{d}{dx}(2(\sin x - \cos x)) = 2(\cos x - (-\sin x)) = 2(\cos x + \sin x)\).\nTurunan penyebut terhadap x: \(\frac{d}{dx}(1 - \sin 2x) = 0 - \cos(2x) \times 2 = -2 \cos(2x)\).\n\nSekarang hitung limit dari hasil turunan:\n\\\(\lim_{x \to \pi/4} \frac{2(\cos x + \sin x)}{-2 \cos(2x)}\\\\).\n\nSubstitusi \(x = \pi/4\) lagi:\nPembilang: \(2(\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)) = 2(\\\frac{\\sqrt{2}}{2} + \\\rac{\\sqrt{2}}{2}\\\)) = 2(\\\sqrt{2}\\\\) = \(2\\\	ext{sqrt}(2)\\\).\nPenyebut: \(-2 \cos(2 \times \pi/4) = -2 \cos(\pi/2) = -2 \times 0 = 0\).\n\nKarena penyebutnya menjadi 0 dan pembilangnya bukan 0, maka limitnya adalah tak hingga. Namun, mari kita periksa kembali penggunaan identitas.\n\nIdentitas: \(1 - \sin 2x = 1 - 2 \sin x \cos x\).\nKita bisa menggunakan identitas \((\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 - 2 \sin x \cos x\).\nMaka, \(1 - \sin 2x = (\sin x - \cos x)^2\).\n\nLimit menjadi: \(\\\lim_{x \to \pi/4} \frac{2(\sin x - \cos x)}{(\\sin x - \cos x)^2}\\\).\n\nSederhanakan:\n\\\(\lim_{x \to \pi/4} \frac{2}{(\\sin x - \cos x)}\\\\).\n\nSubstitusi \(x = \pi/4\):\nPembilang: 2.\nPenyebut: \(\sin(\pi/4) - \cos(\pi/4) = \frac{\\sqrt{2}}{2} - \frac{\\sqrt{2}}{2} = 0\).\n\nKarena pembilangnya konstan (2) dan penyebutnya mendekati 0, maka nilai limitnya adalah tak hingga (∞) atau minus tak hingga (-∞) tergantung dari sisi mana x mendekati pi/4. Jika x mendekati dari kanan (x > pi/4), maka sin x > cos x, penyebut positif, limit +∞. Jika x mendekati dari kiri (x < pi/4), maka sin x < cos x, penyebut negatif, limit -∞. Jadi, limitnya tidak terdefinisi dalam satu nilai.