Hitunglah nilai dari { )^(3) log 2 .{ )^(2) log 9

Nilai dari ${ }^{3} \log 2 \cdot { }^{2} \log 9$ adalah 2.

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari ${ }^{3} \\log 2 \cdot { }^{2} \log 9$, kita dapat menggunakan sifat-sifat logaritma.
Sifat yang relevan di sini adalah sifat perubahan basis dan sifat perkalian logaritma.
Rumus yang akan kita gunakan adalah: ${ }^{a} \log b \cdot { }^{b} \log c = { }^{a} \log c$.

Namun, dalam soal ini basis dan argumennya tidak sama persis seperti rumus tersebut (yaitu, basis 3 pada log pertama dan argumen 2, sedangkan basis 2 pada log kedua dan argumen 9).

Mari kita gunakan sifat perubahan basis: ${ }^{a} \log b = \frac{\\log b}{\\log a}$ (menggunakan logaritma natural atau logaritma basis 10).

${ }^{3} \log 2 = \frac{\\log 2}{\\log 3}$
${ }^{2} \log 9 = \frac{\\log 9}{\\log 2}$

Sekarang kita kalikan kedua hasil tersebut:
${ }^{3} \log 2 \cdot { }^{2} \log 9 = \frac{\\log 2}{\\log 3} \cdot \frac{\\log 9}{\\log 2}$

Kita bisa melihat bahwa ${ \\log 2}$ di pembilang dan penyebut akan saling menghilangkan:
${ }^{3} \log 2 \cdot { }^{2} \log 9 = \frac{\\log 9}{\\log 3}$

Sekarang kita perlu menyederhanakan ${ \\log 9 / \\log 3}$. Kita tahu bahwa 9 adalah $3^2$.
Menggunakan sifat logaritma ${ \\log (a^b) = b \\log a}$, maka ${ \\log 9 = \\log (3^2) = 2 \\log 3}$.

Substitusikan ini kembali ke persamaan:
${ }^{3} \log 2 \cdot { }^{2} \log 9 = \frac{2 \\log 3}{\\log 3}$

Sekarang ${ \\log 3}$ di pembilang dan penyebut akan saling menghilangkan:
${ }^{3} \log 2 \cdot { }^{2} \log 9 = 2$

Jadi, nilai dari ${ }^{3} \log 2 \cdot { }^{2} \log 9$ adalah 2.