Hitunglah nilai dari limit fungsi berikut: limit x

e^(-8)

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari limit fungsi rasional ketika x mendekati tak hingga, kita perlu menganalisis perilaku fungsi tersebut saat nilai x menjadi sangat besar. Fungsi yang diberikan adalah limit x mendekati tak hingga dari (1 + 2/(3+x))^(-2x). Langkah pertama adalah menyederhanakan bagian dalam kurung. Ketika x mendekati tak hingga, nilai 2/(3+x) akan mendekati 0. Sehingga, ekspresi di dalam kurung mendekati (1 + 0) = 1. Namun, pangkatnya adalah -2x, yang berarti kita memiliki bentuk 1 pangkat tak hingga, yang merupakan bentuk tak tentu. Untuk menyelesaikan ini, kita dapat menggunakan definisi bilangan e, yaitu limit x mendekati tak hingga dari (1 + 1/x)^x = e. Kita dapat memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini. Misalkan y = 3+x, maka x = y-3. Ketika x mendekati tak hingga, y juga mendekati tak hingga. Ekspresi menjadi limit y mendekati tak hingga dari (1 + 2/y)^(-2(y-3)). Ini bisa ditulis sebagai limit y mendekati tak hingga dari (1 + 2/y)^(-2y) * (1 + 2/y)^6. Karena limit dari (1 + 2/y)^6 ketika y mendekati tak hingga adalah 1^6 = 1, kita fokus pada limit dari (1 + 2/y)^(-2y). Kita bisa menulis ini sebagai limit y mendekati tak hingga dari [(1 + 2/y)^(y/2)]^(-4). Sekarang, kita tahu bahwa limit (1 + k/y)^y = e^k. Jadi, limit (1 + 2/y)^(y/2) adalah e^2. Dengan demikian, seluruh ekspresi menjadi (e^2)^(-4) = e^(-8).