Perhatikan grafik fungsi rasional berikut. Y 6 5 4 3 2 1 y

h(x) = 4/(x - 2)

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan grafik fungsi rasional y = h(x) dari grafik yang diberikan, kita perlu menganalisis ciri-ciri grafik tersebut, seperti asimtot tegak, asimtot datar, dan titik potong dengan sumbu. Dari grafik, kita dapat mengamati bahwa terdapat asimtot tegak pada x = 2 dan asimtot datar pada y = 0. Adanya asimtot tegak pada x = 2 menunjukkan bahwa penyebut fungsi memiliki faktor (x - 2), sehingga penyebutnya adalah nol ketika x = 2. Ini menyingkirkan pilihan a dan c. Selanjutnya, kita lihat titik potong dengan sumbu y. Ketika x = 0, dari grafik terlihat bahwa y = -2. Mari kita uji titik ini pada pilihan yang tersisa (b, d, dan e). 

Pilihan b: h(x) = 4/(x - 2). Jika x = 0, h(0) = 4/(0 - 2) = 4/(-2) = -2. Ini cocok dengan grafik.

Pilihan d: h(x) = -4/(2 - x). Jika x = 0, h(0) = -4/(2 - 0) = -4/2 = -2. Ini juga cocok dengan grafik.

Pilihan e: h(x) = -4/(x - 2). Jika x = 0, h(0) = -4/(0 - 2) = -4/(-2) = 2. Ini tidak cocok dengan grafik.

Sekarang kita perlu membedakan antara pilihan b dan d. Perhatikan perilaku grafik ketika x mendekati asimtot tegaknya. Dari grafik, ketika x mendekati 2 dari sisi kanan (nilai x sedikit lebih besar dari 2), nilai y tampak positif dan besar (menuju tak hingga). Mari kita uji pilihan b dan d pada nilai x yang sedikit lebih besar dari 2, misalnya x = 2.1.

Pilihan b: h(2.1) = 4/(2.1 - 2) = 4/0.1 = 40. Nilai positif besar, cocok.

Pilihan d: h(2.1) = -4/(2 - 2.1) = -4/(-0.1) = 40. Nilai positif besar, cocok.

Mari kita perhatikan perilaku ketika x mendekati 2 dari sisi kiri (nilai x sedikit lebih kecil dari 2), misalnya x = 1.9.

Pilihan b: h(1.9) = 4/(1.9 - 2) = 4/(-0.1) = -40. Nilai negatif besar (menuju minus tak hingga), cocok dengan grafik.

Pilihan d: h(1.9) = -4/(2 - 1.9) = -4/(0.1) = -40. Nilai negatif besar, cocok dengan grafik.

Ada kemungkinan kita perlu memeriksa titik lain atau asimtot datar. Asimtot datar pada y=0 berarti ketika x menjadi sangat besar (positif atau negatif), nilai y mendekati 0. Mari kita cek titik lain pada grafik. Terlihat ada titik (4, 2) pada grafik.

Pilihan b: h(4) = 4/(4 - 2) = 4/2 = 2. Ini cocok dengan grafik.

Pilihan d: h(4) = -4/(2 - 4) = -4/(-2) = 2. Ini juga cocok dengan grafik.

Mari kita periksa titik potong dengan sumbu x. Fungsi rasional memotong sumbu x ketika pembilangnya nol (dan penyebutnya tidak nol). Dari grafik, terlihat fungsi tidak memotong sumbu x. Ini berarti pembilangnya tidak pernah nol. Baik pilihan b (pembilang 4) maupun pilihan d (pembilang -4) memenuhi syarat ini.

Mari kita perhatikan kembali asimtot tegak dan perilaku fungsi. Asimtot tegak adalah x=2. Pilihan b memiliki (x-2) di penyebut, sedangkan pilihan d memiliki (2-x) di penyebut. Perhatikan bahwa -4/(2-x) = -4/-(x-2) = 4/(x-2). Jadi, pilihan b dan d sebenarnya adalah fungsi yang sama. Mari kita periksa kembali soal dan pilihan yang diberikan. Tampaknya ada kesalahan pengetikan pada pilihan d atau penulisan soalnya. Namun, berdasarkan analisis asimtot dan titik potong (-2 pada sumbu y, dan (4,2) pada grafik), pilihan b: h(x) = 4/(x - 2) adalah representasi yang paling konsisten dengan grafik yang ditampilkan, karena asimtot tegaknya adalah x=2 dan titik potong sumbu y adalah -2. Perilaku grafik juga sesuai, yaitu ketika x > 2, y positif, dan ketika x < 2, y negatif. Jika kita menganggap pilihan b benar, maka persamaan fungsi rasionalnya adalah h(x) = 4/(x - 2), dengan domain x ≠ 2.