Hitunglah nilai dari limit-limit berikut.limit x mendekati

-√3 / 3

Pembahasan

Kita ingin menghitung nilai dari limit:
lim (√(3x² - 4x - 6) - √(3x² - 2x + 1)) saat x mendekati tak hingga.

Karena x mendekati tak hingga, kita dapat membagi setiap suku di dalam akar dengan x², dan mengeluarkan x dari akar.
√(3x² - 4x - 6) = √(x²(3 - 4/x - 6/x²)) = |x|√(3 - 4/x - 6/x²)
√(3x² - 2x + 1) = √(x²(3 - 2/x + 1/x²)) = |x|√(3 - 2/x + 1/x²)

Karena x mendekati tak hingga (positif), maka |x| = x.

Jadi, ekspresi tersebut menjadi:
lim x→∞ [x√(3 - 4/x - 6/x²) - x√(3 - 2/x + 1/x²)]
= lim x→∞ x [√(3 - 4/x - 6/x²) - √(3 - 2/x + 1/x²)]

Bentuk ini adalah ∞ × (√3 - √3) = ∞ × 0, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita perlu merasionalkan ekspresi tersebut dengan mengalikan dengan konjugatnya:

[√(3x² - 4x - 6) - √(3x² - 2x + 1)] * [√(3x² - 4x - 6) + √(3x² - 2x + 1)] / [√(3x² - 4x - 6) + √(3x² - 2x + 1)]

= [(3x² - 4x - 6) - (3x² - 2x + 1)] / [√(3x² - 4x - 6) + √(3x² - 2x + 1)]
= (-4x - 6 + 2x - 1) / [√(3x² - 4x - 6) + √(3x² - 2x + 1)]
= (-2x - 7) / [√(3x² - 4x - 6) + √(3x² - 2x + 1)]

Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan x (atau x² di bawah akar):
= (-2 - 7/x) / [√(3 - 4/x - 6/x²) + √(3 - 2/x + 1/x²)]

Saat x mendekati tak hingga, suku-suku dengan 1/x dan 1/x² akan mendekati 0:
= (-2 - 0) / [√(3 - 0 - 0) + √(3 - 0 + 0)]
= -2 / (√3 + √3)
= -2 / (2√3)
= -1 / √3

Untuk merasionalkan penyebut:
= (-1 / √3) * (√3 / √3)
= -√3 / 3

Jadi, nilai limitnya adalah -√3 / 3.