Hitunglah (sin^3 67,5 + cos^3 67,5)/(sin 67,5 + cos 67,5)

(4 - √2) / 4

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari ekspresi (sin^3 67,5° + cos^3 67,5°)/(sin 67,5° + cos 67,5°), kita dapat menggunakan identitas aljabar untuk penjumlahan kubik: a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).

Misalkan a = sin 67,5° dan b = cos 67,5°.
Maka, ekspresi menjadi:
[ (sin 67,5° + cos 67,5°)(sin^2 67,5° - sin 67,5° cos 67,5° + cos^2 67,5°) ] / (sin 67,5° + cos 67,5°)

Kita bisa membatalkan faktor (sin 67,5° + cos 67,5°) dari pembilang dan penyebut, asalkan sin 67,5° + cos 67,5° ≠ 0. Karena 67,5° berada di kuadran I, nilai sinus dan kosinusnya positif, sehingga jumlahnya pasti positif dan tidak nol.

Ekspresi yang tersisa adalah:
sin^2 67,5° - sin 67,5° cos 67,5° + cos^2 67,5°

Kita tahu identitas trigonometri dasar: sin^2 θ + cos^2 θ = 1.
Maka, ekspresi menjadi:
1 - sin 67,5° cos 67,5°

Selanjutnya, kita gunakan identitas sudut ganda untuk sinus: sin 2θ = 2 sin θ cos θ. Ini berarti sin θ cos θ = (1/2) sin 2θ.
Dalam kasus ini, θ = 67,5°.
Maka, sin 67,5° cos 67,5° = (1/2) sin (2 * 67,5°) = (1/2) sin 135°.

Nilai sin 135° adalah sin (180° - 45°) = sin 45° = √2 / 2.
Jadi, sin 67,5° cos 67,5° = (1/2) * (√2 / 2) = √2 / 4.

Substitusikan kembali ke dalam ekspresi:
1 - √2 / 4

Untuk menyajikannya dalam bentuk pecahan tunggal:
(4 - √2) / 4

Jadi, nilai dari ekspresi tersebut adalah (4 - √2) / 4.