Hitunglah tanpa menggunakan tabel dan kalkulator! a. (sin

a. -1/√3 atau -√3/3, b. -4 + 2√3

Pembahasan

a. (sin 285° - sin 195°) / (cos 375° + cos 285°)
Kita gunakan rumus jumlah dan selisih.
sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2)
cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

A = 285°, B = 195°
(A+B)/2 = (285+195)/2 = 480/2 = 240°
(A-B)/2 = (285-195)/2 = 90/2 = 45°

cos 375° = cos (360° + 15°) = cos 15°
cos 285° = cos (360° - 75°) = cos 75°

Maka, ekspresi menjadi:
(2 cos 240° sin 45°) / (2 cos 240° cos 300°)
= sin 45° / cos 300°
= (1/2 √2) / (1/2) = √2

Cara lain:
sin 285° = sin(360°-75°) = -sin 75°
sin 195° = sin(180°+15°) = -sin 15°
cos 375° = cos(360°+15°) = cos 15°
cos 285° = cos(360°-75°) = cos 75°

(-sin 75° - (-sin 15°)) / (cos 15° + cos 75°)
= (sin 15° - sin 75°) / (cos 15° + cos 75°)
= (2 cos((15+75)/2) sin((15-75)/2)) / (2 cos((15+75)/2) cos((15-75)/2))
= sin(-30°) / cos(-30°)
= -tan 30° = -1/√3

Ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita ulangi dengan lebih hati-hati.

(sin 285° - sin 195°) / (cos 375° + cos 285°)

sin 285° = sin(270°+15°) = -cos 15°
sin 195° = sin(180°+15°) = -sin 15°
cos 375° = cos(360°+15°) = cos 15°
cos 285° = cos(270°+15°) = sin 15°

Maka ekspresi menjadi:
(-cos 15° - (-sin 15°)) / (cos 15° + sin 15°)
= (sin 15° - cos 15°) / (cos 15° + sin 15°)

Kita tahu sin 15° = (√6 - √2)/4 dan cos 15° = (√6 + √2)/4.
= (((√6 - √2)/4) - ((√6 + √2)/4)) / (((√6 + √2)/4) + ((√6 - √2)/4))
= ((√6 - √2 - √6 - √2)/4) / ((√6 + √2 + √6 - √2)/4)
= (-2√2 / 4) / (2√6 / 4)
= -2√2 / 2√6 = -√2 / √6 = -1/√3

b. tan 165° - tan 15°
tan 165° = tan(180° - 15°) = -tan 15°

Maka, tan 165° - tan 15° = -tan 15° - tan 15° = -2 tan 15°

Kita tahu tan 15° = tan(45°-30°) = (tan 45° - tan 30°) / (1 + tan 45° tan 30°)
= (1 - 1/√3) / (1 + 1 * 1/√3)
= ((√3 - 1)/√3) / ((√3 + 1)/√3)
= (√3 - 1) / (√3 + 1)
= ((√3 - 1)(√3 - 1)) / ((√3 + 1)(√3 - 1))
= (3 - 2√3 + 1) / (3 - 1)
= (4 - 2√3) / 2 = 2 - √3

Jadi, -2 tan 15° = -2(2 - √3) = -4 + 2√3