Hitunglah tanpa menggunakan tabel trigonometri maupun

1/16

Pembahasan

Untuk menghitung nilai dari cos 60° cos 36° cos 42° cos 78° tanpa menggunakan tabel trigonometri atau kalkulator, kita dapat menggunakan sifat-sifat trigonometri. 
Perhatikan bahwa cos 78° = cos (90° - 12°) = sin 12° dan cos 42° = cos (90° - 48°) = sin 48°.
Namun, ini tidak secara langsung menyederhanakan perkalian ini. Mari kita coba pendekatan lain.
Kita tahu bahwa cos 60° = 1/2.
Jadi, ekspresi menjadi: (1/2) * cos 36° * cos 42° * cos 78°.
Kita juga tahu identitas trigonometri: cos(θ)cos(60°-θ)cos(60°+θ) = (1/4)cos(3θ).
Mari kita manipulasi cos 36° cos 42° cos 78°.
Ini tidak langsung cocok dengan identitas tersebut. 
Namun, ada identitas lain yang mungkin berguna: 
cos(A)cos(B) = [cos(A+B) + cos(A-B)]/2
Mari kita kelompokkan cos 42° dan cos 78°:
cos 42° cos 78° = [cos(42°+78°) + cos(78°-42°)]/2
= [cos(120°) + cos(36°)]/2
Kita tahu cos 120° = -1/2.
Jadi, cos 42° cos 78° = [-1/2 + cos 36°]/2 = (-1 + 2cos 36°)/4
Sekarang, perkaliannya menjadi: (1/2) * cos 36° * [(-1 + 2cos 36°)/4]
= (1/8) * cos 36° * (-1 + 2cos 36°)
= (1/8) * (-cos 36° + 2cos² 36°)
Gunakan identitas cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1, sehingga 2cos²(θ) = cos(2θ) + 1.
Jadi, 2cos² 36° = cos(72°) + 1.
Perkalian menjadi: (1/8) * (-cos 36° + cos 72° + 1)
Kita tahu cos 72° = sin 18°.
Dan cos 36° = (√5 + 1)/4, sin 18° = (√5 - 1)/4.
Jadi, -cos 36° + cos 72° + 1 = -(√5 + 1)/4 + (√5 - 1)/4 + 1
= (-√5 - 1 + √5 - 1)/4 + 1
= -2/4 + 1
= -1/2 + 1
= 1/2
Jadi, perkalian seluruhnya adalah (1/8) * (1/2) = 1/16. 

Alternatif menggunakan identitas: cos(A)cos(60-A)cos(60+A) = 1/4 cos(3A).
Misalkan A = 36°.
Maka cos(36°)cos(60°-36°)cos(60°+36°) = cos(36°)cos(24°)cos(96°).
Ini tidak cocok. 
Mari kita gunakan nilai cos 36° = (√5+1)/4 dan cos 72° = (√5-1)/4.
Nilai cos 60° = 1/2.
Perkalian = cos 60° cos 36° cos 42° cos 78°
= (1/2) * cos 36° * cos 42° * cos 78°
= (1/2) * cos 36° * (1/2) * (cos(42°+78°) + cos(78°-42°))
= (1/4) * cos 36° * (cos(120°) + cos(36°))
= (1/4) * cos 36° * (-1/2 + cos 36°)
= (1/8) * cos 36° * (-1 + 2cos 36°)
= (1/8) * (-cos 36° + 2cos² 36°)
= (1/8) * (-cos 36° + cos(2*36°) + 1)
= (1/8) * (-cos 36° + cos 72° + 1)
= (1/8) * (-(√5+1)/4 + (√5-1)/4 + 1)
= (1/8) * ((-√5-1+√5-1)/4 + 1)
= (1/8) * (-2/4 + 1)
= (1/8) * (-1/2 + 1)
= (1/8) * (1/2)
= 1/16